問題は2つあります。 問題1は、P地点から出発し、サイコロの出目に従って移動するルールに従い、A地点に到達する確率、B地点に到達する確率を求め、さらにA,B,Cのいずれかに到達したときの得点に基づく期待値を求める問題です。 問題2は、2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフに関する問題で、グラフがx軸と接するための必要十分条件、x軸と異なる2点で交わるための必要十分条件、y軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求める問題と、特定の条件下で三角形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問題1は、P地点から出発し、サイコロの出目に従って移動するルールに従い、A地点に到達する確率、B地点に到達する確率を求め、さらにA,B,Cのいずれかに到達したときの得点に基づく期待値を求める問題です。

問題2は、2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフに関する問題で、グラフがx軸と接するための必要十分条件、x軸と異なる2点で交わるための必要十分条件、y軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求める問題と、特定の条件下で三角形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1

(1) A地点に到達する確率

PからAに行くには、最初のサイコロで5以上の目が出る必要があります。

その確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

(2) B地点に到達する確率

PからBに行くには、最初のサイコロで4以下の目が出て、次に曲がって南に進む必要があります。次に、サイコロを振って5以上の目が出ればBに到達します。

最初のサイコロで4以下の目が出る確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

Bに着くための条件としては、A地点に到達しないことが必要です。

PからCに行くには、最初のサイコロで4以下の目が出て、次に曲がって南に進む必要があります。次に、サイコロを振って4以下の目が出ればCに到達します。

Cに着くための条件としては、A地点に到達しないことが必要です。

Aに到達する確率は $\frac{1}{3}$ です。

Cに到達する確率は $\frac{2}{3} * \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

Bに到達する確率は $\frac{2}{3} * \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ です。

それぞれの確率を足し合わせると、$\frac{1}{3} + \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \frac{2}{9} = \frac{9}{9} = 1$となり、確率の和が1になっていることが確認できます。

したがって、B地点に到達する確率は $\frac{2}{9}$ です。

ゲームで得られる点の期待値

Aに到達する確率は $\frac{1}{3}$ で、得点は1点です。

Bに到達する確率は $\frac{2}{9}$ で、得点は2点です。

Cに到達する確率は $\frac{4}{9}$ で、得点は3点です。

期待値は $\frac{1}{3} \times 1 + \frac{2}{9} \times 2 + \frac{4}{9} \times 3 = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} + \frac{12}{9} = \frac{3}{9} + \frac{4}{9} + \frac{12}{9} = \frac{19}{9}$ です。

問題2

(1)(i) Gがx軸と接するための必要十分条件

$y = a(x-b)(x-c)$ のグラフがx軸と接するためには、$b = c$ である必要があります。

したがって、($\Box$)には2が入ります。

Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件

$y = a(x-b)(x-c)$ のグラフがx軸と異なる2点で交わるためには、$b \neq c$ である必要があります。

したがって、($\Box$)には4が入ります。

(ii) Gがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件

Gとy軸の交点は、$x=0$ のとき、$y = a(0-b)(0-c) = abc$ です。

Gがy軸の正の部分と交わるためには、$abc > 0$ である必要があります。

したがって、($\Box$)には7が入ります。

(2) $a=2$, $bc=1$, $0<b<1$ のとき、Gとy軸の交点をA、Gとx軸の交点をB、Cとする。

$A(0, abc) = (0, 2bc) = (0, 2)$

$B(b, 0)$

$C(c, 0)$

$c = \frac{1}{b}$ なので、$C(\frac{1}{b}, 0)$

三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times |b - \frac{1}{b}| \times 2 = |b - \frac{1}{b}| = |\frac{b^2 - 1}{b}| = \frac{1 - b^2}{b}$ (∵$0 < b < 1$)

3. 最終的な答え

問題1

(1) A地点に到達する確率: $\frac{1}{3}$

(2) B地点に到達する確率: $\frac{2}{9}$

ゲームで得られる点の期待値: $\frac{19}{9}$

問題2

(1)(i) (ア): 2, (イ): 4

(ii) (ウ): 7

(2) $\triangle ABC$ の面積: $\frac{1-b^2}{b}$