1つのサイコロを4回投げるとき、以下の確率を求める。 (1) 1の目がちょうど3回出る確率 (2) 5以上の目がちょうど2回出る確率

1. 問題の内容

1つのサイコロを4回投げるとき、以下の確率を求める。

(1) 1の目がちょうど3回出る確率

(2) 5以上の目がちょうど2回出る確率

2. 解き方の手順

(1) 1の目がちょうど3回出る確率

1の目が出る確率は $1/6$、1の目が出ない確率は $5/6$ である。

4回のうち3回1の目が出る確率は、二項分布に従う。

1の目が3回出る場合の数は、4回の試行のうち3回成功する組み合わせなので $_4C_3$ で求められる。

よって、確率は以下の式で求められる。

$_4C_3 \times (\frac{1}{6})^3 \times (\frac{5}{6})^1 = 4 \times \frac{1}{216} \times \frac{5}{6} = \frac{20}{1296} = \frac{5}{324}$

(2) 5以上の目がちょうど2回出る確率

5以上の目が出る確率は $2/6 = 1/3$、5以上の目が出ない確率は $4/6 = 2/3$ である。

4回のうち2回5以上の目が出る確率は、二項分布に従う。

5以上の目が2回出る場合の数は、4回の試行のうち2回成功する組み合わせなので $_4C_2$ で求められる。

よって、確率は以下の式で求められる。

$_4C_2 \times (\frac{1}{3})^2 \times (\frac{2}{3})^2 = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 1の目がちょうど3回出る確率は $\frac{5}{324}$

(2) 5以上の目がちょうど2回出る確率は $\frac{8}{27}$