独立な確率変数 $U \sim \chi^2(m)$ と $V \sim \chi^2(n)$ が与えられている。 (1) カイ二乗分布 $\chi^2(\nu)$ がガンマ分布 $Gamma(k, \theta)$ の特殊な場合であるとき、パラメータ $k$ と $\theta$ を $\nu$ を用いて表す。 (2) 確率変数 $X = \frac{U/m}{V/n}$ が従うF分布 $F(m, n)$ の期待値 $E[X]$ を求める。$E[X] = E[U/m]E[\frac{1}{V/n}]$ と変形できることを利用する。$E[U/m]$ の値を求める。 (3) $E[\frac{1}{V}]$ の値を計算するために、ガンマ分布の確率密度関数の積分値が1になる性質を利用する。$E[\frac{1}{V}] = \int_0^\infty \frac{1}{v} f_V(v) dv$ を計算する。 (4) 以上の結果から、F(m, n) 分布の期待値 $E[X]$ を求める。

1. 問題の内容

独立な確率変数 $U \sim \chi^2(m)$ と $V \sim \chi^2(n)$ が与えられている。

(1) カイ二乗分布 $\chi^2(\nu)$ がガンマ分布 $Gamma(k, \theta)$ の特殊な場合であるとき、パラメータ $k$ と $\theta$ を $\nu$ を用いて表す。

(2) 確率変数 $X = \frac{U/m}{V/n}$ が従うF分布 $F(m, n)$ の期待値 $E[X]$ を求める。$E[X] = E[U/m]E[\frac{1}{V/n}]$ と変形できることを利用する。$E[U/m]$ の値を求める。

(3) $E[\frac{1}{V}]$ の値を計算するために、ガンマ分布の確率密度関数の積分値が1になる性質を利用する。$E[\frac{1}{V}] = \int_0^\infty \frac{1}{v} f_V(v) dv$ を計算する。

(4) 以上の結果から、F(m, n) 分布の期待値 $E[X]$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) カイ二乗分布$\chi^2(\nu)$は、自由度$\nu$のガンマ分布$Gamma(\frac{\nu}{2}, 2)$とみなせる。したがって、$k = \frac{\nu}{2}$, $\theta = 2$となる。

(2) $U \sim \chi^2(m)$ より、$E[U] = m$ である。したがって、$E[\frac{U}{m}] = \frac{E[U]}{m} = \frac{m}{m} = 1$ となる。

(3) $V \sim \chi^2(n)$ より、$V$ は $Gamma(\frac{n}{2}, 2)$ に従う。確率密度関数は、

$$f_V(v) = \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2}) 2^{\frac{n}{2}}} v^{\frac{n}{2} - 1} e^{-\frac{v}{2}}$$

$E[\frac{1}{V}]$を計算するために、$E[\frac{1}{V}] = \int_0^\infty \frac{1}{v} f_V(v) dv$ を計算する。

$$E[\frac{1}{V}] = \int_0^\infty \frac{1}{v} \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2}) 2^{\frac{n}{2}}} v^{\frac{n}{2} - 1} e^{-\frac{v}{2}} dv = \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2}) 2^{\frac{n}{2}}} \int_0^\infty v^{\frac{n}{2} - 2} e^{-\frac{v}{2}} dv$$

ここで、$x = \frac{v}{2}$とおくと、$v = 2x$, $dv = 2dx$となるから、

$$E[\frac{1}{V}] = \frac{1}{\Gamma(\frac{n}{2}) 2^{\frac{n}{2}}} \int_0^\infty (2x)^{\frac{n}{2} - 2} e^{-x} 2dx = \frac{2^{\frac{n}{2} - 1}}{\Gamma(\frac{n}{2})} \int_0^\infty x^{\frac{n}{2} - 2} e^{-x} dx = \frac{2^{\frac{n}{2} - 1} \Gamma(\frac{n}{2} - 1)}{\Gamma(\frac{n}{2})}$$

ガンマ関数の性質 $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$ より、$\Gamma(\frac{n}{2}) = (\frac{n}{2} - 1)\Gamma(\frac{n}{2} - 1)$であるから、

$$E[\frac{1}{V}] = \frac{2^{\frac{n}{2} - 1} \Gamma(\frac{n}{2} - 1)}{(\frac{n}{2} - 1)\Gamma(\frac{n}{2} - 1)} = \frac{2^{\frac{n}{2} - 1}}{\frac{n}{2} - 1} = \frac{2^{\frac{n}{2}}}{n-2}$$

したがって、$E[\frac{1}{V/n}] = n E[\frac{1}{V}] = \frac{n}{n-2}$

(4) $E[X] = E[\frac{U}{m}] E[\frac{1}{V/n}] = 1 \cdot \frac{n}{n-2} = \frac{n}{n-2}$

3. 最終的な答え

ア: $\frac{\nu}{2}$

イ: $2$

ウ: $1$

エ: $\frac{1}{n-2}$

オ: $\frac{n}{n-2}$