与えられたデータの個数 $N$ が $4n$, $4n+1$, $4n+2$, $4n+3$ (ただし、$n$ は自然数) のそれぞれの場合について、第一四分位数 $Q_1$, 第二四分位数 $Q_2$, 第三四分位数 $Q_3$ を、データ $x_1, x_2, \dots, x_N$ を用いて表す。

1. 問題の内容

与えられたデータの個数 $N$ が $4n$, $4n+1$, $4n+2$, $4n+3$ (ただし、$n$ は自然数) のそれぞれの場合について、第一四分位数 $Q_1$, 第二四分位数 $Q_2$, 第三四分位数 $Q_3$ を、データ $x_1, x_2, \dots, x_N$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、四分位数の定義を確認する。

- データを小さい順に並べる。

- 第二四分位数 $Q_2$ は中央値である。データの個数 $N$ が偶数の場合は中央の2つの値の平均、奇数の場合は中央の値となる。

- 第一四分位数 $Q_1$ は、下位のデータの中央値である。

- 第三四分位数 $Q_3$ は、上位のデータの中央値である。

データの個数が奇数の場合、下位と上位のデータに中央値を含めない。

(1) $N = 4n$ のとき

- $Q_2$ は $x_{2n}$ と $x_{2n+1}$ の平均なので、 $Q_2 = \frac{x_{2n} + x_{2n+1}}{2}$

- 下位のデータは $x_1, \dots, x_{2n}$ であり、$Q_1$ はその中央値である。したがって、$Q_1 = \frac{x_n + x_{n+1}}{2}$

- 上位のデータは $x_{2n+1}, \dots, x_{4n}$ であり、$Q_3$ はその中央値である。したがって、$Q_3 = \frac{x_{3n} + x_{3n+1}}{2}$

(2) $N = 4n+1$ のとき

- $Q_2$ は $x_{2n+1}$ である。

- 下位のデータは $x_1, \dots, x_{2n}$ であり、$Q_1$ はその中央値である。したがって、$Q_1 = \frac{x_n + x_{n+1}}{2}$

- 上位のデータは $x_{2n+2}, \dots, x_{4n+1}$ であり、$Q_3$ はその中央値である。したがって、$Q_3 = \frac{x_{3n+1} + x_{3n+2}}{2}$

(3) $N = 4n+2$ のとき

- $Q_2$ は $x_{2n+1}$ と $x_{2n+2}$ の平均なので、 $Q_2 = \frac{x_{2n+1} + x_{2n+2}}{2}$

- 下位のデータは $x_1, \dots, x_{2n+1}$ であり、$Q_1$ はその中央値である。したがって、$Q_1 = x_{n+1}$

- 上位のデータは $x_{2n+2}, \dots, x_{4n+2}$ であり、$Q_3$ はその中央値である。したがって、$Q_3 = x_{3n+2}$

(4) $N = 4n+3$ のとき

- $Q_2$ は $x_{2n+2}$ である。

- 下位のデータは $x_1, \dots, x_{2n+1}$ であり、$Q_1$ はその中央値である。したがって、$Q_1 = x_{n+1}$

- 上位のデータは $x_{2n+3}, \dots, x_{4n+3}$ であり、$Q_3$ はその中央値である。したがって、$Q_3 = x_{3n+3}$

3. 最終的な答え

(1) $N = 4n$ のとき

$Q_1 = \frac{x_n + x_{n+1}}{2}$

$Q_2 = \frac{x_{2n} + x_{2n+1}}{2}$

$Q_3 = \frac{x_{3n} + x_{3n+1}}{2}$

(2) $N = 4n+1$ のとき

$Q_1 = \frac{x_n + x_{n+1}}{2}$

$Q_2 = x_{2n+1}$

$Q_3 = \frac{x_{3n+1} + x_{3n+2}}{2}$

(3) $N = 4n+2$ のとき

$Q_1 = x_{n+1}$

$Q_2 = \frac{x_{2n+1} + x_{2n+2}}{2}$

$Q_3 = x_{3n+2}$

(4) $N = 4n+3$ のとき

$Q_1 = x_{n+1}$

$Q_2 = x_{2n+2}$

$Q_3 = x_{3n+3}$