20個のデータがあり、そのうち8個のデータの平均値は3、分散は4。残りの12個のデータの平均値は8、分散は9である。このとき、全体のデータの平均値と分散を求める。

1. 問題の内容

20個のデータがあり、そのうち8個のデータの平均値は3、分散は4。残りの12個のデータの平均値は8、分散は9である。このとき、全体のデータの平均値と分散を求める。

2. 解き方の手順

(1) 全体の平均値を求める。

8個のデータの合計は $8 \times 3 = 24$。

12個のデータの合計は $12 \times 8 = 96$。

20個のデータの合計は $24 + 96 = 120$。

全体の平均値は $120 / 20 = 6$。

(2) 全体の分散を求める。

分散の公式は $s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$ であり、

$\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 = n s^2$ と変形できる。

8個のデータについて、$x_i$ は個々の値、$\bar{x}$ は平均値3、分散は4なので、$\sum_{i=1}^8 (x_i - 3)^2 = 8 \times 4 = 32$。

12個のデータについて、$y_i$ は個々の値、$\bar{y}$ は平均値8、分散は9なので、$\sum_{i=1}^{12} (y_i - 8)^2 = 12 \times 9 = 108$。

全体の分散を $S^2$ とすると、$20 S^2 = \sum_{i=1}^8 (x_i - 6)^2 + \sum_{i=1}^{12} (y_i - 6)^2$ となる。

$\sum_{i=1}^8 (x_i - 6)^2 = \sum_{i=1}^8 ((x_i - 3) - 3)^2 = \sum_{i=1}^8 (x_i - 3)^2 - 6 \sum_{i=1}^8 (x_i - 3) + \sum_{i=1}^8 3^2$。

$\sum_{i=1}^8 (x_i - 3) = 0$ なので、$\sum_{i=1}^8 (x_i - 6)^2 = \sum_{i=1}^8 (x_i - 3)^2 + 8 \times 9 = 32 + 72 = 104$。

同様に、$\sum_{i=1}^{12} (y_i - 6)^2 = \sum_{i=1}^{12} ((y_i - 8) + 2)^2 = \sum_{i=1}^{12} (y_i - 8)^2 + 4 \sum_{i=1}^{12} (y_i - 8) + 12 \times 4$。

$\sum_{i=1}^{12} (y_i - 8) = 0$ なので、$\sum_{i=1}^{12} (y_i - 6)^2 = \sum_{i=1}^{12} (y_i - 8)^2 + 12 \times 4 = 108 + 48 = 156$。

したがって、$20 S^2 = 104 + 156 = 260$。

$S^2 = 260 / 20 = 13$。

3. 最終的な答え

(1) 平均値: 6

(2) 分散: 13