箱Sには1からpまでの番号札が1枚ずつ計p枚、箱Tには1から4pまでの番号札が1枚ずつ計4p枚入っている。箱Sと箱Tから番号札を1枚ずつ取り出し、書かれている数をそれぞれX, Yとする。 (1) XとYの積がpで割り切れる確率を求めよ。 (2) XとYの積が2pで割り切れる確率を求めよ。

1. 問題の内容

箱Sには1からpまでの番号札が1枚ずつ計p枚、箱Tには1から4pまでの番号札が1枚ずつ計4p枚入っている。箱Sと箱Tから番号札を1枚ずつ取り出し、書かれている数をそれぞれX, Yとする。

(1) XとYの積がpで割り切れる確率を求めよ。

(2) XとYの積が2pで割り切れる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) XとYの積がpで割り切れる確率

XとYの積がpで割り切れるのは、Xがpで割り切れるか、Yがpで割り切れるか、またはその両方の場合である。

* Xがpで割り切れる確率: Xは箱Sから取り出されるので、X=pとなる確率は $1/p$ である。

* Yがpで割り切れる確率: Yは箱Tから取り出されるので、Yがpで割り切れる数（p, 2p, 3p, 4p）である確率は $4/4p = 1/p$ である。

XとYが独立であることから、Xがpで割り切れる確率とYがpで割り切れる確率を足し、両方がpで割り切れる確率を引けばよい。両方がpで割り切れる確率は、X=pかつYがp, 2p, 3p, 4pのいずれかとなる確率であるから、 $(1/p) * (1/p) = 1/p^2$ である。

したがって、XとYの積がpで割り切れる確率は、

$P(Xがpで割り切れる) + P(Yがpで割り切れる) - P(XとYの両方がpで割り切れる) = \frac{1}{p} + \frac{1}{p} - \frac{1}{p^2} = \frac{2}{p} - \frac{1}{p^2} = \frac{2p-1}{p^2}$

(2) XとYの積が2pで割り切れる確率

XとYの積が2pで割り切れるためには、少なくとも一方の数が2で割り切れ、少なくとも一方の数がpで割り切れる必要がある。pは3以上の素数なので、2とpは互いに素である。

場合分け：

* Xがpで割り切れて、Yが2で割り切れる場合: $X=p$かつYが2の倍数となる確率。Yが2の倍数となる確率は $2p/4p = 1/2$。したがって、この確率は $(1/p) * (1/2) = 1/(2p)$

* Yがpで割り切れて、Xが2で割り切れる場合: Yがp, 2p, 3p, 4pのいずれかで、かつXが2の倍数となる確率。Xが2の倍数となる確率は、pが奇数なので、$(p-1)/2p$である。 Y=p, 3pの時はpは奇数なのでYは2で割り切れない。よって、Y=2p, 4pの時を考える。確率は $(1/2p)*((p-1)/p) = (p-1)/ (2p^2)$

* Xが2pで割り切れる場合: Xは最大でもpなので、これは起こりえない。

* Yが2pで割り切れる場合: Yは2pの倍数である必要がある。Y=2pまたはY=4pの場合が考えられる。Xは2で割り切れなくてもよい。この確率は$X=1,...,p$と$Y=2p,4p$なので確率は $p/ (4p^2) = 1/(4p)$

* Xが2で割り切れてYがpで割り切れる場合: $X=2k, Y=np$ $k=1,2,..., (p-1)/2, n=1,2,3,4$なので確率は $((p-1)/ (2p))*(1/p)= (p-1)/ (2p^2)$

Xが2の倍数である確率：$\frac{\lfloor \frac{p}{2} \rfloor}{p}$

Yが2の倍数である確率：$\frac{2p}{4p} = \frac{1}{2}$

Xがpの倍数である確率：$\frac{1}{p}$

Yがpの倍数である確率：$\frac{4}{4p} = \frac{1}{p}$

求める確率は、以下の事象が起こる確率の合計となる。

(i) Xが2の倍数かつYがpの倍数。

(ii) Xがpの倍数かつYが2の倍数。

これらの事象は排反ではないので、両方が起こる確率を引く必要がある。

両方が起こる場合、Xがpの倍数かつ2の倍数なので、Xは2pの倍数である必要がある。しかし、Xは最大でもpなので、これはありえない。

したがって、両方が起こる確率は0である。

求める確率は、

$P(Xが2の倍数) * P(Yがpの倍数) + P(Xがpの倍数) * P(Yが2の倍数) = \frac{\lfloor \frac{p}{2} \rfloor}{p} * \frac{1}{p} + \frac{1}{p} * \frac{1}{2} = \frac{\lfloor \frac{p}{2} \rfloor}{p^2} + \frac{1}{2p}$

pは3以上の素数なので奇数である。したがって、$\lfloor \frac{p}{2} \rfloor = \frac{p-1}{2}$

$\frac{\frac{p-1}{2}}{p^2} + \frac{1}{2p} = \frac{p-1}{2p^2} + \frac{p}{2p^2} = \frac{2p-1}{2p^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2p-1}{p^2}$

(2) $\frac{2p-1}{2p^2}$