赤玉2個と白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てからもとに戻す。この試行を5回行うとき、赤玉が4回以上出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉2個と白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てからもとに戻す。この試行を5回行うとき、赤玉が4回以上出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で赤玉が出る確率 $p$ を求める。

袋の中には赤玉2個と白玉4個、合計6個の玉が入っているので、赤玉が出る確率は、

$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

次に、5回の試行で赤玉が4回出る確率と5回出る確率をそれぞれ求める。

5回の試行で赤玉が4回出る確率は、二項分布を用いて、

${}_5 C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$

5回の試行で赤玉が5回出る確率は、二項分布を用いて、

${}_5 C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}$

求める確率は、赤玉が4回出る確率と5回出る確率の和なので、

$\frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{243}$