袋Aには赤球5個、白球3個が入っており、袋Bには赤球4個、白球2個が入っている。袋Aから3個、袋Bから2個の球を同時に取り出すとき、取り出した球が全部赤球である確率を求める。

1. 問題の内容

袋Aには赤球5個、白球3個が入っており、袋Bには赤球4個、白球2個が入っている。袋Aから3個、袋Bから2個の球を同時に取り出すとき、取り出した球が全部赤球である確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、袋Aから3個の球を取り出す場合の数を計算する。袋Aには合計8個の球が入っているので、3個を取り出す場合の数は ${}_8 \mathrm{C}_3$。そのうち3個とも赤球である場合の数は ${}_5 \mathrm{C}_3$。したがって、袋Aから3個取り出した球がすべて赤球である確率は、

$P(A) = \frac{{}_5 \mathrm{C}_3}{{}_8 \mathrm{C}_3} = \frac{\frac{5!}{3!2!}}{\frac{8!}{3!5!}} = \frac{\frac{5 \times 4}{2 \times 1}}{\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}$

次に、袋Bから2個の球を取り出す場合の数を計算する。袋Bには合計6個の球が入っているので、2個を取り出す場合の数は ${}_6 \mathrm{C}_2$。そのうち2個とも赤球である場合の数は ${}_4 \mathrm{C}_2$。したがって、袋Bから2個取り出した球がすべて赤球である確率は、

$P(B) = \frac{{}_4 \mathrm{C}_2}{{}_6 \mathrm{C}_2} = \frac{\frac{4!}{2!2!}}{\frac{6!}{2!4!}} = \frac{\frac{4 \times 3}{2 \times 1}}{\frac{6 \times 5}{2 \times 1}} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

袋Aと袋Bから球を取り出す事象は独立なので、両方の事象が同時に起こる確率は、それぞれの確率の積となる。したがって、取り出した球が全部赤球である確率は、

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{5}{28} \times \frac{2}{5} = \frac{10}{140} = \frac{1}{14}$

3. 最終的な答え

1/14