与えられた3点を通る二次関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。 (1) (1, -4), (3, 0), (4, 5) を通る二次関数 (2) (0, -2), (-1, 0), (2, 4) を通る二次関数 (3) (-1, 1), (1, 3), (3, -1) を通る二次関数 (4) (1, -1), (2, 4), (-2, 2) を通る二次関数

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた3点を通る二次関数を求める問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

(1) (1, -4), (3, 0), (4, 5) を通る二次関数

(2) (0, -2), (-1, 0), (2, 4) を通る二次関数

(3) (-1, 1), (1, 3), (3, -1) を通る二次関数

(4) (1, -1), (2, 4), (-2, 2) を通る二次関数

2. 解き方の手順

二次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。与えられた3点の座標をこの式に代入し、a, b, cに関する3つの連立方程式を立てます。この連立方程式を解くことで、a, b, cの値を求め、二次関数を決定します。

(1) (1, -4), (3, 0), (4, 5) を通る場合

$a + b + c = -4$

$9a + 3b + c = 0$

$16a + 4b + c = 5$

2番目の式から1番目の式を引くと、$8a + 2b = 4$。つまり、$4a + b = 2$。

3番目の式から1番目の式を引くと、$15a + 3b = 9$。つまり、$5a + b = 3$。

$5a + b = 3$ から $4a + b = 2$ を引くと、$a = 1$。

$4a + b = 2$ に $a = 1$ を代入すると、$4 + b = 2$ より $b = -2$。

$a + b + c = -4$ に $a = 1$, $b = -2$ を代入すると、$1 - 2 + c = -4$ より $c = -3$。

したがって、$y = x^2 - 2x - 3$

(2) (0, -2), (-1, 0), (2, 4) を通る場合

$c = -2$

$a - b + c = 0$

$4a + 2b + c = 4$

$c = -2$ を2番目の式に代入すると、$a - b - 2 = 0$ より $a - b = 2$。

$c = -2$ を3番目の式に代入すると、$4a + 2b - 2 = 4$ より $4a + 2b = 6$。つまり、$2a + b = 3$。

$a - b = 2$ と $2a + b = 3$ を足すと、$3a = 5$ より $a = \frac{5}{3}$。

$a - b = 2$ に $a = \frac{5}{3}$ を代入すると、$\frac{5}{3} - b = 2$ より $b = \frac{5}{3} - 2 = -\frac{1}{3}$。

したがって、$y = \frac{5}{3}x^2 - \frac{1}{3}x - 2$

(3) (-1, 1), (1, 3), (3, -1) を通る場合

$a - b + c = 1$

$a + b + c = 3$

$9a + 3b + c = -1$

2番目の式から1番目の式を引くと、$2b = 2$ より $b = 1$。

$a + b + c = 3$ に $b = 1$ を代入すると、$a + 1 + c = 3$ より $a + c = 2$。

$9a + 3b + c = -1$ に $b = 1$ を代入すると、$9a + 3 + c = -1$ より $9a + c = -4$。

$9a + c = -4$ から $a + c = 2$ を引くと、$8a = -6$ より $a = -\frac{3}{4}$。

$a + c = 2$ に $a = -\frac{3}{4}$ を代入すると、$-\frac{3}{4} + c = 2$ より $c = \frac{11}{4}$。

したがって、$y = -\frac{3}{4}x^2 + x + \frac{11}{4}$

(4) (1, -1), (2, 4), (-2, 2) を通る場合

$a + b + c = -1$

$4a + 2b + c = 4$

$4a - 2b + c = 2$

2番目の式から3番目の式を引くと、$4b = 2$ より $b = \frac{1}{2}$。

$a + b + c = -1$ に $b = \frac{1}{2}$ を代入すると、$a + \frac{1}{2} + c = -1$ より $a + c = -\frac{3}{2}$。

$4a + 2b + c = 4$ に $b = \frac{1}{2}$ を代入すると、$4a + 1 + c = 4$ より $4a + c = 3$。

$4a + c = 3$ から $a + c = -\frac{3}{2}$ を引くと、$3a = \frac{9}{2}$ より $a = \frac{3}{2}$。

$a + c = -\frac{3}{2}$ に $a = \frac{3}{2}$ を代入すると、$\frac{3}{2} + c = -\frac{3}{2}$ より $c = -3$。

したがって、$y = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = x^2 - 2x - 3$

(2) $y = \frac{5}{3}x^2 - \frac{1}{3}x - 2$

(3) $y = -\frac{3}{4}x^2 + x + \frac{11}{4}$

(4) $y = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - 3$