20本のくじの中に当たりくじが4本ある。a, b, cの順に1本ずつ引く。引いたくじは元に戻さない。 (1) aが当たり、cも当たる確率を求めよ。 (2) aがはずれ、cが当たる確率を求めよ。

1. 問題の内容

20本のくじの中に当たりくじが4本ある。a, b, cの順に1本ずつ引く。引いたくじは元に戻さない。

(1) aが当たり、cも当たる確率を求めよ。

(2) aがはずれ、cが当たる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) aが当たり、cも当たる確率

aが当たる確率は、$\frac{4}{20}$

aが当たった後、残りのくじは19本、当たりくじは3本。

bが当たるか外れるかに関わらず、cが当たる確率は$\frac{3}{19}$

よって、aが当たり、cも当たる確率は

$\frac{4}{20} \times \frac{3}{19} = \frac{12}{380} = \frac{3}{95}$

(2) aがはずれ、cが当たる確率

aが外れる確率は、$\frac{16}{20}$

aが外れた後、残りのくじは19本、当たりくじは4本。

bが当たる確率は、$\frac{4}{19}$

このときcが当たる確率は$\frac{3}{18}=\frac{1}{6}$

bが外れる確率は、$\frac{15}{19}$

このときcが当たる確率は$\frac{4}{18}=\frac{2}{9}$

cが当たる確率は

$\frac{16}{20} \times \frac{4}{19} \times \frac{3}{18} + \frac{16}{20} \times \frac{15}{19} \times \frac{4}{18} = \frac{16}{20} \times \frac{1}{19} \times (\frac{12}{18} + \frac{60}{18}) = \frac{16}{20} \times \frac{1}{19} \times \frac{72}{18} = \frac{16}{20} \times \frac{1}{19} \times 4 = \frac{64}{380} = \frac{16}{95}$

別解：

aが外れる確率は、$\frac{16}{20}$

aが外れた後、残りのくじは19本、当たりくじは4本。

cが当たる確率は、$\frac{4}{19}$

よって、aがはずれ、cも当たる確率は

$\frac{16}{20} \times \frac{4}{19} = \frac{64}{380} = \frac{16}{95}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{95}$

(2) $\frac{16}{95}$