2直線 $ax + 4y - 1 = 0$ と $x + (a-3)y - 2 = 0$ が平行になるような定数 $a$ の値を求め、また垂直になるような定数 $a$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、6番と7番と8番の問題を解きます。

**6番**

1. 問題の内容

2直線 $ax + 4y - 1 = 0$ と $x + (a-3)y - 2 = 0$ が平行になるような定数 $a$ の値を求め、また垂直になるような定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2直線の傾きを求めます。

$ax + 4y - 1 = 0$ より、

$4y = -ax + 1$

$y = -\frac{a}{4}x + \frac{1}{4}$

この直線の傾きは $-\frac{a}{4}$ です。

$x + (a-3)y - 2 = 0$ より、

$(a-3)y = -x + 2$

$y = -\frac{1}{a-3}x + \frac{2}{a-3}$

この直線の傾きは $-\frac{1}{a-3}$ です。

平行条件：2直線の傾きが等しいこと。

$-\frac{a}{4} = -\frac{1}{a-3}$

$a(a-3) = 4$

$a^2 - 3a - 4 = 0$

$(a-4)(a+1) = 0$

$a = 4, -1$

垂直条件：2直線の傾きの積が -1 であること。

$(-\frac{a}{4})(-\frac{1}{a-3}) = -1$

$\frac{a}{4(a-3)} = -1$

$a = -4(a-3)$

$a = -4a + 12$

$5a = 12$

$a = \frac{12}{5}$

3. 最終的な答え

平行になる $a$ の値： $a = 4, -1$

垂直になる $a$ の値： $a = \frac{12}{5}$

**7番**

1. 問題の内容

直線 $y = x$ に関して、点 $A(p, q)$ と対称な点 $B$ の座標を $p, q$ で表せ。ただし、$p \neq q$ とする。

2. 解き方の手順

直線 $y = x$ に関して点 $(p, q)$ と対称な点は、$(q, p)$ です。これは、$x$ 座標と $y$ 座標を入れ替えることで求められます。

3. 最終的な答え

点Bの座標：$(q, p)$

**8番**

1. 問題の内容

点 $A(2, 1)$ と直線 $5x + 12y + 4 = 0$ 上を動く点 $P$ がある。このとき、線分 $AP$ の長さの最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $A(2, 1)$ から直線 $5x + 12y + 4 = 0$ までの距離が、線分 $AP$ の長さの最小値となります。点と直線の距離の公式を使います。

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離は、

$\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ で与えられます。

この問題では、$(x_0, y_0) = (2, 1)$、 $a = 5$, $b = 12$, $c = 4$ です。

距離 = $\frac{|5(2) + 12(1) + 4|}{\sqrt{5^2 + 12^2}}$

= $\frac{|10 + 12 + 4|}{\sqrt{25 + 144}}$

= $\frac{26}{\sqrt{169}}$

= $\frac{26}{13}$

= $2$

3. 最終的な答え

線分APの長さの最小値：2