実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = x^2 - 4x + 1$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値を $M(a)$ とする。この時、$M(a)$ を $a$ の式で表す。

1. 問題の内容

実数 $a$ を定数とし、関数 $f(x) = x^2 - 4x + 1$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最大値を $M(a)$ とする。この時、$M(a)$ を $a$ の式で表す。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = (x-2)^2 - 3$

よって、$f(x)$ のグラフは頂点が $(2, -3)$ で、直線 $x=2$ を軸とする放物線である。

$a \le x \le a+1$ の中央は $x = \frac{a + (a+1)}{2} = a + \frac{1}{2}$ である。

軸 $x=2$ と中央 $x = a + \frac{1}{2}$ の大小で場合分けする。

(i) $a + \frac{1}{2} < 2$ のとき、$a < \frac{3}{2}$ のとき、$f(x)$ は区間 $a \le x \le a+1$ で単調減少するため、最大値は $M(a) = f(a) = a^2 - 4a + 1$ となる。

(ii) $a + \frac{1}{2} \ge 2$ のとき、$a \ge \frac{3}{2}$ のとき、$f(x)$ は区間 $a \le x \le a+1$ で単調増加するため、最大値は $M(a) = f(a+1) = (a+1)^2 - 4(a+1) + 1 = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 1 = a^2 - 2a - 2$ となる。

3. 最終的な答え

ア：(2, -3)

イ：2

ウ：a + 1/2

エ：3/2

(i) $a < \frac{3}{2}$ のとき

M(a) = 1a^2 + (-4)a + 1

(ii) $a \ge \frac{3}{2}$ のとき

M(a) = 1a^2 + (-2)a + (-2)