次の2つの関数について、最大値と最小値を求めます。 (1) $y = -x^2 + 4x + 5$ (定義域: $-1 < x < 3$) (2) $y = -2x$

1. 問題の内容

次の2つの関数について、最大値と最小値を求めます。

(1) $y = -x^2 + 4x + 5$ (定義域: $-1 < x < 3$)

(2) $y = -2x$

2. 解き方の手順

(1)

まず、関数 $y = -x^2 + 4x + 5$ を平方完成します。

$y = -(x^2 - 4x) + 5$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$

$y = -(x - 2)^2 + 4 + 5$

$y = -(x - 2)^2 + 9$

この関数は、上に凸な放物線で、頂点は $(2, 9)$ です。定義域 $-1 < x < 3$ における最大値と最小値を考えます。

$x=2$ は定義域に含まれるので、最大値は頂点の $y$ 座標である $9$ です。

$x=-1$ に近づくと、$y = -(-1)^2 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$ に近づきます。

$x=3$ に近づくと、$y = -(3)^2 + 4(3) + 5 = -9 + 12 + 5 = 8$ に近づきます。

したがって、最小値は存在しません。$x = -1$ のときに$y=0$に限りなく近づきますが、$x > -1$ なので、$y$ が$0$になることはありません。

(2)

$y = -2x$ は直線です。

定義域が指定されていないため、最大値と最小値は存在しません。$x$ をいくらでも大きくすれば $y$ はいくらでも小さくなり、$x$ をいくらでも小さくすれば $y$ はいくらでも大きくなります。

3. 最終的な答え

(1)

最大値: $9$ ($x=2$のとき)

最小値: なし

(2)

最大値: なし

最小値: なし