与えられた2つの二次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = -x^2 + 4x + 5$ ($-1 < x < 3$) (2) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 < x < 7$)

1. 問題の内容

与えられた2つの二次関数について、指定された範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = -x^2 + 4x + 5$ ($-1 < x < 3$)

(2) $y = -2x^2 + 14x$ ($0 < x < 7$)

2. 解き方の手順

(1) $y = -x^2 + 4x + 5$ について

まず、平方完成を行います。

$y = -(x^2 - 4x) + 5$

$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$

$y = -(x - 2)^2 + 4 + 5$

$y = -(x - 2)^2 + 9$

頂点の座標は $(2, 9)$ であり、上に凸のグラフです。

範囲 $-1 < x < 3$ を考慮します。

$x = 2$ は範囲内にあり、最大値は $9$ です。

$x = -1$ のとき、$y = -(-1)^2 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$

$x = 3$ のとき、$y = -(3)^2 + 4(3) + 5 = -9 + 12 + 5 = 8$

$x$ が $-1$ に近づくほど $y$ は $0$ に近づき、$x$ が $3$ に近づくほど $y$ は $8$ に近づきます。したがって、最小値はありません。

(2) $y = -2x^2 + 14x$ について

まず、平方完成を行います。

$y = -2(x^2 - 7x)$

$y = -2(x^2 - 7x + \frac{49}{4} - \frac{49}{4})$

$y = -2(x - \frac{7}{2})^2 + \frac{49}{2}$

頂点の座標は $(\frac{7}{2}, \frac{49}{2})$ であり、上に凸のグラフです。

範囲 $0 < x < 7$ を考慮します。

$x = \frac{7}{2} = 3.5$ は範囲内にあり、最大値は $\frac{49}{2} = 24.5$ です。

$x = 0$ のとき、$y = -2(0)^2 + 14(0) = 0$

$x = 7$ のとき、$y = -2(7)^2 + 14(7) = -98 + 98 = 0$

$x$ が $0$ に近づくほど $y$ は $0$ に近づき、$x$ が $7$ に近づくほど $y$ は $0$ に近づきます。したがって、最小値はありません。

3. 最終的な答え

(1) 最大値 $9$、最小値なし

(2) 最大値 $\frac{49}{2}$、最小値なし