$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $9ab + \frac{1}{ab} \geq 6$ を証明します。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$ のとき、不等式 $9ab + \frac{1}{ab} \geq 6$ を証明します。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用します。$a > 0$, $b > 0$ より、$ab > 0$ であるため、$9ab > 0$ かつ $\frac{1}{ab} > 0$ が成り立ちます。

したがって、相加平均と相乗平均の関係から、

$$\frac{9ab + \frac{1}{ab}}{2} \geq \sqrt{9ab \cdot \frac{1}{ab}}$$

$$\frac{9ab + \frac{1}{ab}}{2} \geq \sqrt{9}$$

$$\frac{9ab + \frac{1}{ab}}{2} \geq 3$$

両辺に2をかけると

$$9ab + \frac{1}{ab} \geq 6$$

等号が成り立つのは、$9ab = \frac{1}{ab}$ のときです。

$9(ab)^2 = 1$

$(ab)^2 = \frac{1}{9}$

$ab = \pm \frac{1}{3}$

$ab > 0$ より、$ab = \frac{1}{3}$ のとき等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$9ab + \frac{1}{ab} \geq 6$ （証明終わり）