$t$を正の定数とし、$-t \le x \le 2t$における関数$f(x)$の最大値を$M$、最小値を$m$とする。$M+m = \frac{21}{2}$となるような$t$の値を求めよ。ただし、$f(x) = \frac{3}{2}x^2 -2x + 3$とする。

1. 問題の内容

$t$を正の定数とし、$-t \le x \le 2t$における関数$f(x)$の最大値を$M$、最小値を$m$とする。$M+m = \frac{21}{2}$となるような$t$の値を求めよ。ただし、$f(x) = \frac{3}{2}x^2 -2x + 3$とする。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を平方完成する。

$f(x) = \frac{3}{2}(x^2 - \frac{4}{3}x) + 3 = \frac{3}{2}(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) + 3 = \frac{3}{2}(x-\frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} + 3 = \frac{3}{2}(x-\frac{2}{3})^2 + \frac{7}{3}$

よって、$f(x)$は$x = \frac{2}{3}$で最小値$\frac{7}{3}$をとる。

場合分けを行う。

(i) $2t < \frac{2}{3}$ のとき。すなわち、$0 < t < \frac{1}{3}$ のとき。

$-t \le x \le 2t$ で、$f(x)$ は単調減少なので、

$M = f(-t) = \frac{3}{2}t^2 + 2t + 3$

$m = f(2t) = \frac{3}{2}(4t^2) - 4t + 3 = 6t^2 - 4t + 3$

$M + m = \frac{3}{2}t^2 + 2t + 3 + 6t^2 - 4t + 3 = \frac{15}{2}t^2 - 2t + 6 = \frac{21}{2}$

$\frac{15}{2}t^2 - 2t + 6 - \frac{21}{2} = 0$

$\frac{15}{2}t^2 - 2t - \frac{9}{2} = 0$

$15t^2 - 4t - 9 = 0$

$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(15)(-9)}}{30} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 540}}{30} = \frac{4 \pm \sqrt{556}}{30} = \frac{4 \pm 2\sqrt{139}}{30} = \frac{2 \pm \sqrt{139}}{15}$

$0 < t < \frac{1}{3}$ より、$t = \frac{2 + \sqrt{139}}{15}$ は範囲外。

$t = \frac{2 - \sqrt{139}}{15}$ は負なので範囲外。

(ii) $-t \ge \frac{2}{3}$ のとき。すなわち、$t \le -\frac{2}{3}$ となるが、$t > 0$ より不適。

(iii) $-t < \frac{2}{3} < 2t$ のとき。すなわち、$\frac{1}{3} < t$ かつ $t > 0$ より、$t > \frac{1}{3}$ のとき。

$M = f(-t) = \frac{3}{2}t^2 + 2t + 3$ か $M = f(2t) = 6t^2 - 4t + 3$ のどちらか大きい方になる。

$m = f(\frac{2}{3}) = \frac{7}{3}$

$M+m = \frac{21}{2}$ より、$M = \frac{21}{2} - \frac{7}{3} = \frac{63-14}{6} = \frac{49}{6}$

$f(-t) = \frac{3}{2}t^2 + 2t + 3 = \frac{49}{6}$ とすると、$9t^2 + 12t + 18 = 49$

$9t^2 + 12t - 31 = 0$

$t = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 4(9)(-31)}}{18} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 1116}}{18} = \frac{-12 \pm \sqrt{1260}}{18} = \frac{-12 \pm 6\sqrt{35}}{18} = \frac{-2 \pm \sqrt{35}}{3}$

$t > \frac{1}{3}$ より、$t = \frac{-2 + \sqrt{35}}{3}$

$f(2t) = 6t^2 - 4t + 3 = \frac{49}{6}$ とすると、$36t^2 - 24t + 18 = 49$

$36t^2 - 24t - 31 = 0$

$t = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4(36)(-31)}}{72} = \frac{24 \pm \sqrt{576 + 4464}}{72} = \frac{24 \pm \sqrt{5040}}{72} = \frac{24 \pm 12\sqrt{35}}{72} = \frac{2 \pm \sqrt{35}}{6}$

$t > \frac{1}{3}$ より、$t = \frac{2 + \sqrt{35}}{6}$

$t > \frac{1}{3}$ の条件を確認する。

$\frac{-2 + \sqrt{35}}{3} > \frac{1}{3}$ より、$\sqrt{35} > 3$。 これは成り立つ。

$\frac{2 + \sqrt{35}}{6} > \frac{1}{3}$ より、$2 + \sqrt{35} > 2$。これは成り立つ。

次に、$f(-t)$と$f(2t)$を比較する。

$f(-t) - f(2t) = \frac{3}{2}t^2 + 2t + 3 - (6t^2 - 4t + 3) = -\frac{9}{2}t^2 + 6t = -\frac{3}{2}t(3t - 4)$

したがって、

$f(-t) > f(2t)$ のとき、$0 < t < \frac{4}{3}$

$f(-t) < f(2t)$ のとき、$t > \frac{4}{3}$

$t = \frac{-2 + \sqrt{35}}{3}$ のとき、$t \approx \frac{-2 + 5.9}{3} = \frac{3.9}{3} = 1.3$

$t = \frac{2 + \sqrt{35}}{6}$ のとき、$t \approx \frac{2 + 5.9}{6} = \frac{7.9}{6} = 1.31$

両方とも$\frac{4}{3} = 1.33...$より小さいので、$M = f(2t)$となることはない。

したがって、$t = \frac{-2+\sqrt{35}}{3}$

3. 最終的な答え

$t = \frac{-2+\sqrt{35}}{3}$