与えられた6つの2次式を平方完成する問題です。平方完成とは、2次式を $a(x-p)^2+q$ の形に変形することです。

1. 問題の内容

与えられた6つの2次式を平方完成する問題です。平方完成とは、2次式を $a(x-p)^2+q$ の形に変形することです。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - 4x + 7$

$x^2 - 4x$ の部分を $(x-2)^2$ にするために、$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ を利用します。

$x^2 - 4x + 7 = (x^2 - 4x + 4) + 7 - 4 = (x-2)^2 + 3$

(2) $-2x^2 - 4x - 6$

まず、$x^2$ の係数である -2 で全体をくくります。

$-2x^2 - 4x - 6 = -2(x^2 + 2x) - 6$

次に、$x^2 + 2x$ の部分を $(x+1)^2$ にするために、$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ を利用します。

$-2(x^2 + 2x) - 6 = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 6 = -2((x+1)^2 - 1) - 6 = -2(x+1)^2 + 2 - 6 = -2(x+1)^2 - 4$

(3) $2x^2 - 3x + 1$

まず、$x^2$ の係数である 2 で全体をくくります。

$2x^2 - 3x + 1 = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1$

次に、$x^2 - \frac{3}{2}x$ の部分を $(x-\frac{3}{4})^2$ にするために、$(x-\frac{3}{4})^2 = x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}$ を利用します。

$2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1 = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} - \frac{9}{16}) + 1 = 2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$

(4) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$

まず、$x^2$ の係数である $\frac{1}{3}$ で全体をくくります。

$\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3}$

次に、$x^2 - 4x$ の部分を $(x-2)^2$ にするために、$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$ を利用します。

$\frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x^2 - 4x + 4 - 4) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}((x-2)^2 - 4) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x-2)^2 - \frac{4}{3} + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x-2)^2 + 1$

(5) $(x+1)(x-3)$

まず、式を展開します。

$(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3$

次に、$x^2 - 2x$ の部分を $(x-1)^2$ にするために、$(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$ を利用します。

$x^2 - 2x - 3 = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$

(6) $-2(x-3)(x+6)$

まず、$(x-3)(x+6)$ を展開します。

$-2(x-3)(x+6) = -2(x^2 + 6x - 3x - 18) = -2(x^2 + 3x - 18) = -2x^2 - 6x + 36$

次に、$x^2$ の係数である -2 で全体をくくります。

$-2x^2 - 6x + 36 = -2(x^2 + 3x) + 36$

次に、$x^2 + 3x$ の部分を $(x+\frac{3}{2})^2$ にするために、$(x+\frac{3}{2})^2 = x^2 + 3x + \frac{9}{4}$ を利用します。

$-2(x^2 + 3x) + 36 = -2(x^2 + 3x + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) + 36 = -2((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 36 = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + 36 = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{81}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(x-2)^2 + 3$

(2) $-2(x+1)^2 - 4$

(3) $2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$

(4) $\frac{1}{3}(x-2)^2 + 1$

(5) $(x-1)^2 - 4$

(6) $-2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{81}{2}$