画像に写っている数学の問題のうち、135番の問題を解きます。問題は、関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3$ ($0 \leq x \leq 4$) の最小値が0となるように、定数 $a$ の値を定めるというものです。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題のうち、135番の問題を解きます。問題は、関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3$ ($0 \leq x \leq 4$) の最小値が0となるように、定数 $a$ の値を定めるというものです。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成します。

\begin{align*}

f(x) &= x^2 - 2ax + 2a + 3 \\

&= (x^2 - 2ax + a^2) - a^2 + 2a + 3 \\

&= (x - a)^2 - a^2 + 2a + 3

\end{align*}

$f(x)$ は $x = a$ で最小値 $-a^2 + 2a + 3$ をとります。

ここで、最小値が0になる必要があるので、 $-a^2 + 2a + 3 = 0$ を解きます。

\begin{align*}

-a^2 + 2a + 3 &= 0 \\

a^2 - 2a - 3 &= 0 \\

(a - 3)(a + 1) &= 0

\end{align*}

したがって、$a = 3$ または $a = -1$ です。

次に、$0 \leq x \leq 4$ の範囲で最小値が0となるかを検討します。

場合1: $a = 3$ のとき

軸 $x = 3$ は $0 \leq x \leq 4$ の範囲に含まれるので、最小値は $-3^2 + 2(3) + 3 = -9 + 6 + 3 = 0$ となり条件を満たします。

場合2: $a = -1$ のとき

軸 $x = -1$ は $0 \leq x \leq 4$ の範囲に含まれません。

$x = 0$ のとき $f(0) = 0^2 - 2(-1)(0) + 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$

$x = 4$ のとき $f(4) = 4^2 - 2(-1)(4) + 2(-1) + 3 = 16 + 8 - 2 + 3 = 25$

$0 \leq x \leq 4$ において、軸が範囲外なので、端点で最小値をとります。

$x=0$のとき$f(0) = 1$, $x=4$のとき$f(4) = 25$

最小値は$1$なので、条件を満たしません。

したがって、$a = 3$ が答えとなります。

3. 最終的な答え

$a = 3$