与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、和の性質を利用して、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 5k$

次に、定数倍の和の性質を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} 5k = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 5\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式を適用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を代入します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 + 5\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5\frac{n(n+1)}{2}$

通分して整理します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{15n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1) + 15n(n+1)}{6}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1+15)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+16)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+8)}{6} = \frac{n(n+1)(n+8)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(n+8)}{3}$