関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3$ ($0 \le x \le 4$) の最小値が0となるように、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3$ ($0 \le x \le 4$) の最小値が0となるように、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 - 2ax + 2a + 3 = (x - a)^2 - a^2 + 2a + 3$

軸 $x = a$ の位置によって、最小値が異なる。

(i) $a < 0$ のとき

区間 $[0, 4]$ において $f(x)$ は単調減少であるから、$x = 0$ で最小値をとる。

$f(0) = 2a + 3 = 0$ より、 $a = -\frac{3}{2}$

これは $a < 0$ を満たす。

(ii) $0 \le a \le 4$ のとき

$x = a$ で最小値をとる。

$f(a) = -a^2 + 2a + 3 = 0$

$a^2 - 2a - 3 = 0$

$(a - 3)(a + 1) = 0$

$a = 3, -1$

$0 \le a \le 4$ を満たすのは $a = 3$。

(iii) $a > 4$ のとき

区間 $[0, 4]$ において $f(x)$ は単調増加であるから、$x = 4$ で最小値をとる。

$f(4) = 16 - 8a + 2a + 3 = -6a + 19 = 0$

$a = \frac{19}{6}$

これは $a > 4$ を満たさない。

したがって、$a = -\frac{3}{2}, 3$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{3}{2}, 3$