関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲における最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を、次のそれぞれの場合について求めます。 (1) $a \le 0$ (2) $0 < a < 1$ (3) $a = 1$ (4) $1 < a < 2$ (5) $2 \le a$

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2ax + 1$ において、$0 \le x \le 2$ の範囲における最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を、次のそれぞれの場合について求めます。

(1) $a \le 0$

(2) $0 < a < 1$

(3) $a = 1$

(4) $1 < a < 2$

(5) $2 \le a$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2ax + 1 = (x - a)^2 - a^2 + 1$

これは、軸が $x = a$ である下に凸の放物線です。

定義域が $0 \le x \le 2$ であることに注意して、軸の位置に応じて最大値と最小値を場合分けして考えます。

(1) $a \le 0$ のとき

軸 $x = a$ は定義域の左側にあります。したがって、$x = 0$ で最大値、$x = 2$ で最小値を取ります。

最大値：$y(0) = 0^2 - 2a(0) + 1 = 1$ ($x = 0$のとき)

最小値：$y(2) = 2^2 - 2a(2) + 1 = 5 - 4a$ ($x = 2$のとき)

(2) $0 < a < 1$ のとき

軸 $x = a$ は定義域の中にあります。したがって、$x = a$ で最小値、$x = 2$ で最大値を取ります。

最大値：$y(2) = 2^2 - 2a(2) + 1 = 5 - 4a$ ($x = 2$のとき)

最小値：$y(a) = (a - a)^2 - a^2 + 1 = 1 - a^2$ ($x = a$のとき)

(3) $a = 1$ のとき

軸 $x = a = 1$ は定義域の中にあります。したがって、$x = a$ で最小値、$x = 0$または$x = 2$ で最大値を取ります。

最小値：$y(1) = (1 - 1)^2 - 1^2 + 1 = 0$ ($x = 1$のとき)

最大値：$y(0) = 1$ , $y(2) = 5 - 4(1) = 1$ ( $x = 0,2$のとき)

(4) $1 < a < 2$ のとき

軸 $x = a$ は定義域の中にあります。したがって、$x = a$ で最小値、$x = 0$ で最大値を取ります。

最大値：$y(0) = 0^2 - 2a(0) + 1 = 1$ ($x = 0$のとき)

最小値：$y(a) = (a - a)^2 - a^2 + 1 = 1 - a^2$ ($x = a$のとき)

(5) $2 \le a$ のとき

軸 $x = a$ は定義域の右側にあります。したがって、$x = 0$ で最大値、$x = 2$ で最小値を取ります。

最大値：$y(0) = 0^2 - 2a(0) + 1 = 1$ ($x = 0$のとき)

最小値：$y(2) = 2^2 - 2a(2) + 1 = 5 - 4a$ ($x = 2$のとき)

3. 最終的な答え

(1) $a \le 0$ のとき

最大値：1 ($x = 0$), 最小値：$5 - 4a$ ($x = 2$)

(2) $0 < a < 1$ のとき

最大値：$5 - 4a$ ($x = 2$), 最小値：$1 - a^2$ ($x = a$)

(3) $a = 1$ のとき

最大値：1 ($x = 0,2$), 最小値：0 ($x = 1$)

(4) $1 < a < 2$ のとき

最大値：1 ($x = 0$), 最小値：$1 - a^2$ ($x = a$)

(5) $2 \le a$ のとき

最大値：1 ($x = 0$), 最小値：$5 - 4a$ ($x = 2$)