2つの直線 $y = mx + 5$ と $y = 3x - 6$ のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるとき、定数 $m$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = mx + 5$ と $y = 3x - 6$ のなす角が $\frac{\pi}{4}$ であるとき、定数 $m$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの直線のなす角 $\theta$ は、それぞれの直線の傾きを $m_1, m_2$ とすると、以下の公式で求められます。

$$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$$

この問題では、 $m_1 = m$, $m_2 = 3$, $\theta = \frac{\pi}{4}$ なので、 $\tan \frac{\pi}{4} = 1$ を代入して、以下の式が得られます。

$$1 = \left| \frac{m - 3}{1 + 3m} \right|$$

絶対値を外すと、2つの場合が考えられます。

場合1:

$$\frac{m - 3}{1 + 3m} = 1$$

$$m - 3 = 1 + 3m$$

$$-2m = 4$$

$$m = -2$$

場合2:

$$\frac{m - 3}{1 + 3m} = -1$$

$$m - 3 = -1 - 3m$$

$$4m = 2$$

$$m = \frac{1}{2}$$

したがって、$m$ の値は $-2$ または $\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

$m = -2, \frac{1}{2}$