与えられた二次関数のグラフを描き、軸と頂点を求める問題です。二次関数は以下の通りです。 (1) $y = x^2 - 2x + 2$ (2) $y = -x^2 + 2x + 3$ (3) $y = -2x^2 + 6x + 3$ (4) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$ (5) $y = (x+2)(x-1)$ (6) $y = (2x+1)(x-2)$

1. 問題の内容

与えられた二次関数のグラフを描き、軸と頂点を求める問題です。二次関数は以下の通りです。

(1) $y = x^2 - 2x + 2$

(2) $y = -x^2 + 2x + 3$

(3) $y = -2x^2 + 6x + 3$

(4) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

(5) $y = (x+2)(x-1)$

(6) $y = (2x+1)(x-2)$

2. 解き方の手順

各二次関数を平方完成し、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形します。このとき、軸は $x=p$、頂点は $(p, q)$ となります。

(1) $y = x^2 - 2x + 2$

$y = (x^2 - 2x + 1) + 2 - 1$

$y = (x - 1)^2 + 1$

軸: $x = 1$, 頂点: $(1, 1)$

(2) $y = -x^2 + 2x + 3$

$y = -(x^2 - 2x) + 3$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 3 + 1$

$y = -(x - 1)^2 + 4$

軸: $x = 1$, 頂点: $(1, 4)$

(3) $y = -2x^2 + 6x + 3$

$y = -2(x^2 - 3x) + 3$

$y = -2(x^2 - 3x + \frac{9}{4}) + 3 + 2 \cdot \frac{9}{4}$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + 3 + \frac{9}{2}$

$y = -2(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{15}{2}$

軸: $x = \frac{3}{2}$, 頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{15}{2})$

(4) $y = \frac{1}{2}x^2 + 2x$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x)$

$y = \frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) - \frac{1}{2} \cdot 4$

$y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 - 2$

軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, -2)$

(5) $y = (x+2)(x-1)$

$y = x^2 + 2x - x - 2$

$y = x^2 + x - 2$

$y = (x^2 + x + \frac{1}{4}) - 2 - \frac{1}{4}$

$y = (x + \frac{1}{2})^2 - \frac{9}{4}$

軸: $x = -\frac{1}{2}$, 頂点: $(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$

(6) $y = (2x+1)(x-2)$

$y = 2x^2 + x - 4x - 2$

$y = 2x^2 - 3x - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x) - 2$

$y = 2(x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}) - 2 - 2 \cdot \frac{9}{16}$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - 2 - \frac{9}{8}$

$y = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{25}{8}$

軸: $x = \frac{3}{4}$, 頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$

3. 最終的な答え

(1) 軸: $x = 1$, 頂点: $(1, 1)$

(2) 軸: $x = 1$, 頂点: $(1, 4)$

(3) 軸: $x = \frac{3}{2}$, 頂点: $(\frac{3}{2}, \frac{15}{2})$

(4) 軸: $x = -2$, 頂点: $(-2, -2)$

(5) 軸: $x = -\frac{1}{2}$, 頂点: $(-\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$

(6) 軸: $x = \frac{3}{4}$, 頂点: $(\frac{3}{4}, -\frac{25}{8})$