次の2つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ (2) $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$

1. 問題の内容

次の2つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 - 3x^2 + 6x - 8$

(2) $8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3$

2. 解き方の手順

(1) 因数定理を利用して因数分解を行います。

$P(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 8$ と置きます。

$P(2) = 2^3 - 3(2^2) + 6(2) - 8 = 8 - 12 + 12 - 8 = 0$

したがって、$x-2$ は $P(x)$ の因数です。

筆算または組み立て除法により、$P(x)$ を $x-2$ で割ると、

$x^3 - 3x^2 + 6x - 8 = (x-2)(x^2 - x + 4)$

$x^2 - x + 4$ の判別式は $D = (-1)^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15 < 0$ なので、これ以上実数の範囲で因数分解できません。

(2) 与えられた式は、$(2a - 3b)^3$ の展開式であることに気づきます。

$(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$

$8a^3 - 36a^2b + 54ab^2 - 27b^3 = (2a)^3 - 3(2a)^2(3b) + 3(2a)(3b)^2 - (3b)^3$

$= (2a - 3b)^3$

3. 最終的な答え

(1) $(x-2)(x^2-x+4)$

(2) $(2a-3b)^3$