$x > 0$, $y > 0$, $xy = 4$ のとき、$2x + y$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

$x > 0$, $y > 0$, $xy = 4$ のとき、$2x + y$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

相加平均と相乗平均の関係を利用する。$x > 0$, $y > 0$ より、$2x > 0$, $y > 0$ なので、

$$\frac{2x + y}{2} \geq \sqrt{(2x)(y)}$$

両辺に2をかけると

$$2x + y \geq 2\sqrt{2xy}$$

ここで、$xy = 4$ を代入すると

$$2x + y \geq 2\sqrt{2 \cdot 4} = 2\sqrt{8} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$

等号成立条件は $2x = y$ のときである。$xy = 4$ に代入すると $x(2x) = 4$、すなわち $2x^2 = 4$ より $x^2 = 2$。$x > 0$ より $x = \sqrt{2}$。このとき $y = 2x = 2\sqrt{2}$。

したがって、最小値は $4\sqrt{2}$ である。

3. 最終的な答え

$4\sqrt{2}$