(1) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4^n} + \frac{1}{2^n})$ の値を求めよ。 (2) 循環小数 $0.4\dot{5}$ を分数で表せ。

はい、承知いたしました。問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

(1) 無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4^n} + \frac{1}{2^n})$ の値を求めよ。

(2) 循環小数 $0.4\dot{5}$ を分数で表せ。

2. 解き方の手順

(1) 無限級数の計算

与えられた無限級数を、2つの無限等比級数に分解します。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4^n} + \frac{1}{2^n}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$

それぞれの無限等比級数を計算します。

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^n} = 3 \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{4})^n = 3 \cdot \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

したがって、

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4^n} + \frac{1}{2^n}) = 1 + 1 = 2$

(2) 循環小数を分数で表す

$x = 0.4\dot{5}$ とおくと、

$x = 0.45555...$

$10x = 4.5555...$

$100x = 45.5555...$

$100x - 10x = 45.5555... - 4.5555...$

$90x = 41$

$x = \frac{41}{90}$

しかし、これは問題文の選択肢にありません。問題文の0.45の上に点が2つあることから $0.\dot{4}\dot{5}$ を分数で表すと解釈すると、

$x = 0.\dot{4}\dot{5}$ とおくと、$x = 0.454545...$

$100x = 45.454545...$

$100x - x = 45.454545... - 0.454545...$

$99x = 45$

$x = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) $\frac{5}{11}$

したがって、選択肢イが正解です。