関数 $f(x) = x^3 - 3x^2$ について、閉区間 $[1, 2]$ において平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。平均値の定理とは、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$ を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在するというものです。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x^2$ について、閉区間 $[1, 2]$ において平均値の定理を満たす $c$ の値を求める問題です。平均値の定理とは、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$ を満たす $c$ が $a < c < b$ の範囲に存在するというものです。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6x$

次に、$a = 1$、$b = 2$ として、$f(a)$、$f(b)$ を計算します。

$f(1) = 1^3 - 3(1^2) = 1 - 3 = -2$

$f(2) = 2^3 - 3(2^2) = 8 - 12 = -4$

平均値の定理の左辺を計算します。

$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{-4 - (-2)}{1} = \frac{-2}{1} = -2$

平均値の定理より、以下の式が成り立ちます。

$f'(c) = 3c^2 - 6c = -2$

$3c^2 - 6c + 2 = 0$

この2次方程式を解きます。解の公式を用いると、

$c = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{3}$

したがって、$c = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ または $c = \frac{3 - \sqrt{3}}{3}$ です。

ここで、$1 < c < 2$ を満たす $c$ を選択します。

$\sqrt{3} \approx 1.732$ より、

$c_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3} \approx \frac{3 + 1.732}{3} \approx \frac{4.732}{3} \approx 1.577$

$c_2 = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} \approx \frac{3 - 1.732}{3} \approx \frac{1.268}{3} \approx 0.423$

$1 < c < 2$ を満たすのは $c_1 = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$ です。

3. 最終的な答え

$c = \frac{3 + \sqrt{3}}{3}$