$0 \leqq \theta \leqq \pi$ のとき、$f(\theta) = 2 \sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) - 4\cos\theta - \sqrt{6}$ について、加法定理や合成を用いて $f(\theta)$ を $\sin\theta$ だけを用いた式に変形する。

1. 問題の内容

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ のとき、$f(\theta) = 2 \sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) - 4\cos\theta - \sqrt{6}$ について、加法定理や合成を用いて $f(\theta)$ を $\sin\theta$ だけを用いた式に変形する。

2. 解き方の手順

まず、$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)$ を加法定理を用いて展開する。

$$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\theta \cos\frac{\pi}{6} + \cos\theta \sin\frac{\pi}{6}$$

ここで、$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ であるから、

$$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta$$

これを $f(\theta)$ に代入すると、

$$f(\theta) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta + \frac{1}{2}\cos\theta\right) - 4\cos\theta - \sqrt{6}$$

$$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta - 4\cos\theta - \sqrt{6}$$

$$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta - 3\cos\theta - \sqrt{6}$$

次に、$f(\theta)$ を $\sin\theta$ だけの式にするために、$\cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$ を用いる。

しかし、問題文の指示から、$\sin\theta$ のみで表したいので、別の方法を考える。

再度、$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta - 3\cos\theta - \sqrt{6}$ に対して、合成を行う。

合成の公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta + \alpha)$ を用いる。ただし、$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$, $\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

今回の場合は、$\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ である。

よって、

$f(\theta) = 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\sin\theta - \frac{3}{2\sqrt{3}}\cos\theta\right) - \sqrt{6}$

$f(\theta) = 2\sqrt{3}\left(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\right) - \sqrt{6}$

ここで、$\cos\alpha = \frac{1}{2}$, $\sin\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、$\alpha = -\frac{\pi}{3}$.

よって、

$f(\theta) = 2\sqrt{3}\sin\left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) - \sqrt{6}$

最後に、加法定理により、

$f(\theta) = 2\sqrt{3} \left( \sin\theta \cos\frac{\pi}{3} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{3} \right) - \sqrt{6}$

$f(\theta) = 2\sqrt{3} \left( \sin\theta \cdot \frac{1}{2} - \cos\theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \sqrt{6}$

$f(\theta) = \sqrt{3} \sin\theta - 3\cos\theta - \sqrt{6}$

やはり $\cos\theta$ が残ってしまう。

$\cos\theta$ を消すには、$\cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta}$ を代入するしかない。

$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta - 3\sqrt{1-\sin^2\theta} - \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta - 3\sqrt{1-\sin^2\theta} - \sqrt{6}$