次の不定積分を求めよ。ただし、$C$ は積分定数とする。 (1) $\int \cos(2x-1) \, dx$ (2) $\int \sin^3 x \cos x \, dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。ただし、$C$ は積分定数とする。

(1) $\int \cos(2x-1) \, dx$

(2) $\int \sin^3 x \cos x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \cos(2x-1) \, dx$ を計算する。

$2x-1 = u$ と置換すると、$2 \, dx = du$ となり、$dx = \frac{1}{2} \, du$ である。

よって、

$\int \cos(2x-1) \, dx = \int \cos(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{2} \sin(u) + C = \frac{1}{2} \sin(2x-1) + C$

(2) $\int \sin^3 x \cos x \, dx$ を計算する。

$\sin x = u$ と置換すると、$\cos x \, dx = du$ となる。

よって、

$\int \sin^3 x \cos x \, dx = \int u^3 \, du = \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{4} \sin^4 x + C$

したがって、(1) は $\frac{1}{2} \sin(2x-1) + C$ であり、(2) は $\frac{1}{4} \sin^4 x + C$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2} \sin(2x-1) + C$

(2) $\frac{1}{4} \sin^4 x + C$

正解は、選択肢の「ウ」である。