2つの曲線 $y = x^3$ と $y = \sqrt{x}$ で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = x^3$ と $y = \sqrt{x}$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの曲線の交点を求めます。

$x^3 = \sqrt{x}$ を解きます。両辺を2乗すると、

$(x^3)^2 = (\sqrt{x})^2$

$x^6 = x$

$x^6 - x = 0$

$x(x^5 - 1) = 0$

よって、$x = 0$ または $x^5 = 1$ となります。$x^5 = 1$ の実数解は $x = 1$ です。したがって、交点は $x = 0$ と $x = 1$ です。

次に、$0 \leq x \leq 1$ において、どちらの関数が大きいかを調べます。$x = 0.5$ を代入すると、

$y = x^3 = (0.5)^3 = 0.125$

$y = \sqrt{x} = \sqrt{0.5} \approx 0.707$

したがって、$0 \leq x \leq 1$ では $\sqrt{x} \geq x^3$ です。

面積は、積分を使って次のように計算できます。

$S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^3) dx$

$S = \int_0^1 (x^{\frac{1}{2}} - x^3) dx$

$S = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4} x^4 \right]_0^1$

$S = \left( \frac{2}{3} (1)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4} (1)^4 \right) - \left( \frac{2}{3} (0)^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{4} (0)^4 \right)$

$S = \frac{2}{3} - \frac{1}{4}$

$S = \frac{8}{12} - \frac{3}{12}$

$S = \frac{5}{12}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{12}$