(1) 関数 $y = \frac{1}{x}$、直線 $x=1$、$x=e$、およびx軸で囲まれた部分の面積を求めます。 (2) 関数 $y = \sqrt{x}$、直線 $x=1$、$x=4$、およびx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \frac{1}{x}$、直線 $x=1$、$x=e$、およびx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

(2) 関数 $y = \sqrt{x}$、直線 $x=1$、$x=4$、およびx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x}$ の不定積分は $\ln|x|$ です。xの範囲が $1$ から $e$ なので、積分範囲は正です。

面積は、定積分 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx$ で求められます。

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx = [\ln|x|]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$

(2) $y = \sqrt{x}$ の不定積分は $\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$ です。

面積は、定積分 $\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx$ で求められます。

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} = \frac{2}{3}(4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3}(1^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3}(1) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{14}{3}$

したがって、答えはイです。