与えられた方程式を解いて、$x$ の値を求めます。方程式は次の通りです。 $\frac{x-4}{x^2+x-2} - \frac{1}{x-1} = \frac{x-6}{x^2-4}$

1. 問題の内容

与えられた方程式を解いて、$x$ の値を求めます。方程式は次の通りです。

$\frac{x-4}{x^2+x-2} - \frac{1}{x-1} = \frac{x-6}{x^2-4}$

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解します。

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$

これらを元の方程式に代入すると、

$\frac{x-4}{(x+2)(x-1)} - \frac{1}{x-1} = \frac{x-6}{(x+2)(x-2)}$

次に、方程式全体に $(x+2)(x-1)(x-2)$ を掛けて分母を払います。ただし、$x \neq -2, 1, 2$ であることに注意します。

$(x-4)(x-2) - (x+2)(x-2) = (x-6)(x-1)$

式を展開します。

$x^2 - 6x + 8 - (x^2 - 4) = x^2 - 7x + 6$

$x^2 - 6x + 8 - x^2 + 4 = x^2 - 7x + 6$

$-6x + 12 = x^2 - 7x + 6$

右辺にすべて移行して整理します。

$0 = x^2 - x - 6$

この二次方程式を因数分解します。

$(x-3)(x+2) = 0$

したがって、$x = 3$ または $x = -2$ となります。

ただし、最初に $x \neq -2, 1, 2$ という条件があったため、$x = -2$ は解として不適です。

したがって、$x = 3$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = 3$