2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが与えられたとき、(1)と(2)のそれぞれの場合について、$a, b, c, a+b+c$ の符号を判定する。

1. 問題の内容

2次関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフが与えられたとき、(1)と(2)のそれぞれの場合について、$a, b, c, a+b+c$ の符号を判定する。

2. 解き方の手順

(1)

* $a$ の符号: グラフが下に凸であることから、$a>0$。

* $c$ の符号: $y$切片が正であることから、$c>0$。

* 軸の位置: 軸の位置が $x=1$ であることから、軸の方程式 $-\frac{b}{2a} = 1$ が成り立つ。

よって、$b=-2a$ である。$a>0$ であるから、$b<0$。

* $a+b+c$ の符号: $x=1$ のとき、$y=a(1)^2+b(1)+c = a+b+c$。グラフより、$x=1$のとき$y>0$となる。よって、$a+b+c>0$。

(2)

* $a$ の符号: グラフが上に凸であることから、$a<0$。

* $c$ の符号: $y$切片が正であることから、$c>0$。

* 軸の位置: 軸の位置が $x<0$ であることから、軸の方程式 $-\frac{b}{2a} < 0$ が成り立つ。

$a<0$ であるから、両辺に$2a$をかけると、不等号の向きが変わり、$-b > 0$ より、$b<0$。

* $a+b+c$ の符号: グラフが$x=1$のとき、$y<0$となる。グラフより、$x=1$のとき$y=a+b+c$。よって、$a+b+c<0$。

3. 最終的な答え

(1)

* $a>0$

* $b<0$

* $c>0$

* $a+b+c>0$

(2)

* $a<0$

* $b<0$

* $c>0$

* $a+b+c<0$