与えられた連立不等式 $ \begin{cases} 3x+5>8 \\ x(x-4)<0 \end{cases} $ を解き、$x$の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$$

\begin{cases}

3x+5>8 \\

x(x-4)<0

\end{cases}

$$

を解き、$x$の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式を解きます。

$$

3x+5>8

$$

両辺から5を引くと、

$$

3x > 3

$$

両辺を3で割ると、

$$

x > 1

$$

次に、二つ目の不等式を解きます。

$$

x(x-4) < 0

$$

この不等式が成り立つのは、$x$と$x-4$の符号が異なるときです。

(i) $x > 0$ かつ $x-4 < 0$のとき、$x > 0$ かつ $x < 4$なので、$0 < x < 4$となります。

(ii) $x < 0$ かつ $x-4 > 0$のとき、$x < 0$ かつ $x > 4$となりますが、これは同時に満たす$x$は存在しません。

したがって、$0 < x < 4$となります。

二つの不等式を満たす$x$の範囲は、$x > 1$と$0 < x < 4$の共通範囲なので、$1 < x < 4$となります。

3. 最終的な答え

$1 < x < 4$