行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ \alpha & 2 \end{bmatrix}$ について、固有値の一つが0となるような $\alpha$ の値を求め、そのときの固有値と固有ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ \alpha & 2 \end{bmatrix}$ について、固有値の一つが0となるような $\alpha$ の値を求め、そのときの固有値と固有ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式は $\det(A - \lambda I) = 0$ で与えられます。ここで、$I$ は単位行列です。

したがって、

$\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & 1 \\ \alpha & 2-\lambda \end{pmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda) - \alpha = 0$

$\lambda^2 - 5\lambda + 6 - \alpha = 0$

固有値の一つが0であるという条件から、$\lambda = 0$ を代入すると、

$0^2 - 5(0) + 6 - \alpha = 0$

$6 - \alpha = 0$

$\alpha = 6$

したがって、$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$ となります。

このとき、固有方程式は $\lambda^2 - 5\lambda = 0$ となり、固有値は $\lambda_1 = 0$ と $\lambda_2 = 5$ となります。

$\lambda_1 = 0$ のときの固有ベクトルを求めます。

$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$

$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$3x + y = 0$

$y = -3x$

したがって、固有ベクトル $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}$ (またはその定数倍) となります。

$\lambda_2 = 5$ のときの固有ベクトルを求めます。

$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$

$\begin{bmatrix} 3-5 & 1 \\ 6 & 2-5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 6 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$-2x + y = 0$

$y = 2x$

したがって、固有ベクトル $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ (またはその定数倍) となります。

3. 最終的な答え

$\alpha = 6$ のとき、固有値は $\lambda_1 = 0$ と $\lambda_2 = 5$ です。

$\lambda_1 = 0$ に対応する固有ベクトルは $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}$ (またはその定数倍) です。

$\lambda_2 = 5$ に対応する固有ベクトルは $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ (またはその定数倍) です。