与えられた数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の4つの数を有理化します。 (1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ (2) $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ (3) $\frac{5}{\sqrt{2}+1}$ (4) $\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた数の分母を有理化する問題です。具体的には、以下の4つの数を有理化します。

(1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$

(3) $\frac{5}{\sqrt{2}+1}$

(4) $\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

分母を有理化するには、分母の共役な複素数を分母と分子に掛けます。

(1) $\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ の場合、分母の共役な複素数は $\sqrt{7}-\sqrt{5}$ です。

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{7-5} = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ の場合、分母の共役な複素数は $\sqrt{7}+\sqrt{2}$ です。

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{\sqrt{7}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{7-2} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{5}$

(3) $\frac{5}{\sqrt{2}+1}$ の場合、分母の共役な複素数は $\sqrt{2}-1$ です。

したがって、

$\frac{5}{\sqrt{2}+1} = \frac{5}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{5(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{5(\sqrt{2}-1)}{2-1} = \frac{5(\sqrt{2}-1)}{1} = 5(\sqrt{2}-1) = 5\sqrt{2}-5$

(4) $\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ の場合、分母の共役な複素数は $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ です。

したがって、

$\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{2} = 3(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = 3\sqrt{5}+3\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$

(2) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{2}}{5}$

(3) $5\sqrt{2}-5$

(4) $3\sqrt{5}+3\sqrt{3}$