先生4人と生徒3人がくじ引きで1列に並ぶとき、以下の確率を求める問題です。 (1) 先生と生徒が交互に並ぶ確率 (2) 両端のうち、少なくとも一方に生徒が並ぶ確率

## 解答

1. 問題の内容

先生4人と生徒3人がくじ引きで1列に並ぶとき、以下の確率を求める問題です。

(1) 先生と生徒が交互に並ぶ確率

(2) 両端のうち、少なくとも一方に生徒が並ぶ確率

2. 解き方の手順

(1) 先生と生徒が交互に並ぶ確率

まず、7人全員が並ぶ場合の総数を求めます。これは単に7人の順列なので、$7! = 5040$通りです。

次に、先生と生徒が交互に並ぶ場合を考えます。先生の人数が多いので、先生が両端に並ぶ必要があります。並び方は「先生、生徒、先生、生徒、先生、生徒、先生」の順のみです。

先生4人の並び方は$4!$通り、生徒3人の並び方は$3!$通りなので、交互に並ぶ場合の数は$4! \times 3! = 24 \times 6 = 144$通りです。

したがって、先生と生徒が交互に並ぶ確率は、

$\frac{4! \times 3!}{7!} = \frac{144}{5040} = \frac{1}{35}$

となります。

(2) 両端のうち、少なくとも一方に生徒が並ぶ確率

「少なくとも一方に生徒が並ぶ」の余事象は「両端に先生が並ぶ」です。まず両端に先生が並ぶ確率を求めます。

両端に先生が並ぶ場合、まず両端に並ぶ先生の選び方は$4 \times 3 = 12$通りです。残りの5人の並び方は$5! = 120$通りなので、両端に先生が並ぶ場合の数は$12 \times 120 = 1440$通りです。

したがって、両端に先生が並ぶ確率は、

$\frac{1440}{5040} = \frac{2}{7}$

となります。

求める確率は、この余事象の確率を1から引いたものなので、

$1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$

となります。

3. 最終的な答え

(1) 先生と生徒が交互に並ぶ確率は $\frac{1}{35}$

(2) 両端のうち、少なくとも一方に生徒が並ぶ確率は $\frac{5}{7}$