「ア、イ、ウ、エ、オ」の5文字を全て使ってできる文字列を辞書順に並べたとき、 (1) 55番目の文字列は何か。 (2) 文字列「オウエアイ」は何番目の文字列か。

1. 問題の内容

「ア、イ、ウ、エ、オ」の5文字を全て使ってできる文字列を辞書順に並べたとき、

(1) 55番目の文字列は何か。

(2) 文字列「オウエアイ」は何番目の文字列か。

2. 解き方の手順

(1) 55番目の文字列を求める。

5つの文字を並び替える順列の総数は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ である。

まず、先頭の文字を考える。

「ア」から始まる文字列は $4! = 24$ 個。

「イ」から始まる文字列も $4! = 24$ 個。

「ウ」から始まる文字列も $4! = 24$ 個。

よって、「ウ」までで $24 \times 3 = 72$ 個となるので、55番目の文字列は「ウ」で始まることはない。

55番目の文字列は「ア」または「イ」で始まる。

「ア」で始まる文字列は1番目から24番目。

「イ」で始まる文字列は25番目から48番目。

よって、55番目の文字列は「ウ」で始まる。

「ウ」で始まる文字列は49番目から72番目。

55番目は「ウ」から数えて $55 - 48 = 7$ 番目。

次に、2番目の文字を考える。

「ウア」で始まる文字列は $3! = 6$ 個。

「ウイ」で始まる文字列は $3! = 6$ 個。

「ウア」で始まる文字列は49番目から54番目。

したがって、7番目の文字列は「ウイ」から始まる。

「ウイ」から数えて $7 - 6 = 1$ 番目。

「ウイ」の次に並ぶのは、「ウイアエオ」となる。

したがって、55番目の文字列は「ウイアエオ」である。

(2) 文字列「オウエアイ」が何番目の文字列かを求める。

まず、先頭の文字で場合分けする。

「ア」で始まる文字列は $4! = 24$ 個。

「イ」で始まる文字列は $4! = 24$ 個。

「ウ」で始まる文字列は $4! = 24$ 個。

「エ」で始まる文字列は $4! = 24$ 個。

「オ」で始まる文字列は $4! = 24$ 個。

「オ」で始まる文字列は、$24 \times 4 = 96$ より、97番目から120番目。

次に、2番目の文字を考える。

「オア」で始まる文字列は $3! = 6$ 個。

「オイ」で始まる文字列は $3! = 6$ 個。

「オウ」で始まる文字列は $3! = 6$ 個。

「オエ」で始まる文字列は $3! = 6$ 個。

「オア」から「オエ」まで $6 \times 3 = 18$ 個。

よって、「オウ」は$96+18+1=115$番目から始まる

「オウ」で始まる文字列は、$96+18+1=115$番目から120番目。

次に、3番目の文字を考える。

「オウア」で始まる文字列は $2! = 2$ 個。

「オウイ」で始まる文字列は $2! = 2$ 個。

「オウエ」で始まる文字列は $2! = 2$ 個。

「オウア」から「オウイ」まで $2 \times 2 = 4$ 個。

よって、「オウエ」は $115 + 4 = 119$ 番目から始まる

「オウエ」で始まる文字列は、$118+1=119$番目から120番目。

「オウエア」 $1$通り

「オウエイ」$1$通り

「オウエア」の次なので、「オウエア」の次は「オウエア」

「オウエアイ」は$119 + 1 = 120$番目。

3. 最終的な答え

(1) ウイアエオ

(2) 120 番目