YOKOHAMAの8文字を1列に並べる。 (1) Y, K, H, M がこの順になる並べ方は何通りか。 (2) O と A が必ず偶数番目にある並べ方は何通りか。

1. 問題の内容

YOKOHAMAの8文字を1列に並べる。

(1) Y, K, H, M がこの順になる並べ方は何通りか。

(2) O と A が必ず偶数番目にある並べ方は何通りか。

2. 解き方の手順

(1) Y, K, H, M を同じ文字□とみなす。YOKOHAMAの8文字を並べる並べ方は全部で $\frac{8!}{2!2!}$ 通り。

Y, K, H, M の順序は決まっているので、$\frac{8!}{2!2!}$ 通りのうち、Y, K, H, M がこの順になっているものは $\frac{1}{4!}$ だけである。

したがって、求める並べ方は $\frac{8!}{2!2!4!}$ 通り。

(2) YOKOHAMAの8文字のうち、Oは2個、Aは2個ある。偶数番目は4箇所ある。

OとAが偶数番目に来る場合を考える。

(i) O, A がともに偶数番目に来る場合。

偶数番目の4箇所からO, Aの場所を選ぶので ${}_4 P _2 = 4 \times 3 = 12$ 通り。

残りの6文字 Y, K, H, M, O, A を並べる並べ方は 6! 通り。

したがって、 $12 \times 6! = 12 \times 720 = 8640$ 通り。

(ii) Oが2つとも偶数番目に来る場合。

偶数番目の4箇所からOの場所を選ぶので ${}_4 C _2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

残りの6文字 Y, K, H, M, A, A を並べる並べ方は $\frac{6!}{2!}$ 通り。

したがって、$6 \times \frac{6!}{2!} = 6 \times \frac{720}{2} = 6 \times 360 = 2160$ 通り。

(iii) Aが2つとも偶数番目に来る場合。

偶数番目の4箇所からAの場所を選ぶので ${}_4 C _2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

残りの6文字 Y, K, H, M, O, O を並べる並べ方は $\frac{6!}{2!}$ 通り。

したがって、$6 \times \frac{6!}{2!} = 6 \times \frac{720}{2} = 6 \times 360 = 2160$ 通り。

OとAがともに偶数番目にある並べ方は、(i)+(ii)+(iii) で $8640 + 2160 + 2160 = 12960$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 420 通り

(2) 12960 通り