3次方程式 $x^3 - 6x^2 + 9x - 2 = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x^2 + 9x - 2 = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式が簡単な整数解を持つかどうかを調べます。

$x=1$ を代入すると $1^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 2 = 1 - 6 + 9 - 2 = 2 \neq 0$ となり、$x=1$ は解ではありません。

$x=2$ を代入すると $2^3 - 6(2)^2 + 9(2) - 2 = 8 - 24 + 18 - 2 = 0$ となり、$x=2$ は解の一つです。

したがって、$x-2$ は $x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ の因数となります。

筆算または組み立て除法を用いて、$x^3 - 6x^2 + 9x - 2$ を $x-2$ で割ります。

$x^3 - 6x^2 + 9x - 2 = (x-2)(x^2 - 4x + 1)$

したがって、与えられた方程式は $(x-2)(x^2 - 4x + 1) = 0$ と変形できます。

$x-2=0$ より、$x=2$ は解の一つです。

次に、2次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ を解きます。

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用いると、

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x = 2 + \sqrt{3}$ と $x = 2 - \sqrt{3}$ は解です。

3. 最終的な答え

$x = 2, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$