三角形ABCにおいて、辺BCを3:1に内分する点をD、外分する点をEとする。また、三角形ABCの重心をGとする。ベクトル$\vec{AD}$, $\vec{AE}$, $\vec{AG}$, $\vec{BD}$, $\vec{GE}$を、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを3:1に内分する点をD、外分する点をEとする。また、三角形ABCの重心をGとする。ベクトル$\vec{AD}$, $\vec{AE}$, $\vec{AG}$, $\vec{BD}$, $\vec{GE}$を、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{AD}$について

点Dは辺BCを3:1に内分するので、内分点の公式より

$\vec{AD} = \frac{1 \cdot \vec{AB} + 3 \cdot \vec{AC}}{3+1} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AC}$

(2) $\vec{AE}$について

点Eは辺BCを3:1に外分するので、外分点の公式より

$\vec{AE} = \frac{-1 \cdot \vec{AB} + 3 \cdot \vec{AC}}{3-1} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{3}{2}\vec{AC}$

(3) $\vec{AG}$について

点Gは三角形ABCの重心なので、重心の位置ベクトルの公式より

$\vec{AG} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AA}}{3} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

(4) $\vec{BD}$について

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

(1)の結果より

$\vec{BD} = (\frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AC}) - \vec{AB} = -\frac{3}{4}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AC}$

(5) $\vec{GE}$について

$\vec{GE} = \vec{AE} - \vec{AG}$

(2)と(3)の結果より

$\vec{GE} = (-\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{3}{2}\vec{AC}) - (\frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}) = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{3})\vec{AB} + (\frac{3}{2} - \frac{1}{3})\vec{AC} = -\frac{5}{6}\vec{AB} + \frac{7}{6}\vec{AC}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AD} = \frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AC}$

(2) $\vec{AE} = -\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{3}{2}\vec{AC}$

(3) $\vec{AG} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

(4) $\vec{BD} = -\frac{3}{4}\vec{AB} + \frac{3}{4}\vec{AC}$

(5) $\vec{GE} = -\frac{5}{6}\vec{AB} + \frac{7}{6}\vec{AC}$