三角形において、$b=2$, $c=\sqrt{3}-1$, $A=30^\circ$のとき、$a$の値を求めよ。

1. 問題の内容

三角形において、$b=2$, $c=\sqrt{3}-1$, $A=30^\circ$のとき、$a$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

余弦定理を用いて、$a$を求める。余弦定理は以下の通りである。

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

与えられた値を代入すると、

$a^2 = 2^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2(2)(\sqrt{3}-1)\cos 30^\circ$

$a^2 = 4 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) - 4(\sqrt{3}-1)\frac{\sqrt{3}}{2}$

$a^2 = 4 + 4 - 2\sqrt{3} - 2(\sqrt{3}-1)\sqrt{3}$

$a^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 2(3 - \sqrt{3})$

$a^2 = 8 - 2\sqrt{3} - 6 + 2\sqrt{3}$

$a^2 = 2$

$a = \pm\sqrt{2}$

$a$は三角形の辺の長さなので、$a>0$である。

3. 最終的な答え

$a=\sqrt{2}$