四面体OABCにおいて、辺OAを3:1に内分する点をD、辺BCの中点をM、線分DMを1:2に内分する点をEとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、以下のベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。 (1) $\vec{OM}$ (2) $\vec{OE}$ (3) $\vec{DM}$

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAを3:1に内分する点をD、辺BCの中点をM、線分DMを1:2に内分する点をEとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、以下のベクトルを$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表す。

(1) $\vec{OM}$

(2) $\vec{OE}$

(3) $\vec{DM}$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OM}$を求める。

MはBCの中点なので、

$\vec{OM} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

(2) $\vec{OE}$を求める。

Eは線分DMを1:2に内分する点なので、

$\vec{OE} = \frac{2\vec{OD} + \vec{OM}}{1+2} = \frac{2}{3}\vec{OD} + \frac{1}{3}\vec{OM}$

DはOAを3:1に内分する点なので、

$\vec{OD} = \frac{3}{4}\vec{OA} = \frac{3}{4}\vec{a}$

したがって、

$\vec{OE} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{3}(\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

(3) $\vec{DM}$を求める。

$\vec{DM} = \vec{OM} - \vec{OD} = (\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}) - \frac{3}{4}\vec{a} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$

(2) $\vec{OE} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{6}\vec{b} + \frac{1}{6}\vec{c}$

(3) $\vec{DM} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}$