円 $x^2 + y^2 = 1$ (円①) と円 $(x-4)^2 + y^2 = 4$ (円②) に共通な接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ (円①) と円 $(x-4)^2 + y^2 = 4$ (円②) に共通な接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

共通接線は $x$ 軸に垂直ではないので、接線の方程式を $y = mx + n$、すなわち $mx - y + n = 0$ (直線③) とおきます。

直線③が円①と接するとき、円①の中心(0, 0)と直線③との距離は、円①の半径1に等しいので、

$$\frac{|m \cdot 0 - 0 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$$

$$|n| = \sqrt{m^2 + 1}$$

(式④)

直線③が円②と接するとき、円②の中心(4, 0)と直線③との距離は、円②の半径2に等しいので、

$$\frac{|m \cdot 4 - 0 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$$

$$|4m + n| = 2\sqrt{m^2 + 1}$$

(式⑤)

式④、式⑤より、

$$|4m + n| = 2|n|$$

よって、

$$4m + n = \pm 2n$$

したがって、$4m = n$ または $4m = -3n$ となります。

[1] $4m = n$ のとき

式④より、

$|4m| = \sqrt{m^2 + 1}$

$16m^2 = m^2 + 1$

$15m^2 = 1$

$m = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}$

このとき、$n = 4m = \pm \frac{4}{\sqrt{15}}$ となります。

よって、接線の方程式は $y = \frac{1}{\sqrt{15}}x + \frac{4}{\sqrt{15}}$ と $y = -\frac{1}{\sqrt{15}}x - \frac{4}{\sqrt{15}}$ となります。

[2] $4m = -3n$ のとき

式④より、

$|n| = \sqrt{m^2 + 1}$

$n = \pm \sqrt{m^2 + 1}$

$4m = -3n$ なので、$n = -\frac{4}{3}m$ となります。

$-\frac{4}{3}m = \pm \sqrt{m^2 + 1}$

$\frac{16}{9}m^2 = m^2 + 1$

$\frac{7}{9}m^2 = 1$

$m = \pm \frac{3}{\sqrt{7}}$

このとき、$n = -\frac{4}{3} \cdot (\pm \frac{3}{\sqrt{7}}) = \mp \frac{4}{\sqrt{7}}$

よって、接線の方程式は $y = \frac{3}{\sqrt{7}}x - \frac{4}{\sqrt{7}}$ と $y = -\frac{3}{\sqrt{7}}x + \frac{4}{\sqrt{7}}$ となります。

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{\sqrt{15}}x + \frac{4}{\sqrt{15}}$、 $y = -\frac{1}{\sqrt{15}}x - \frac{4}{\sqrt{15}}$、 $y = \frac{3}{\sqrt{7}}x - \frac{4}{\sqrt{7}}$、 $y = -\frac{3}{\sqrt{7}}x + \frac{4}{\sqrt{7}}$