共通接線は x 軸に垂直ではないので、接線の方程式を y=mx+n、すなわち mx−y+n=0 (直線③) とおきます。 直線③が円①と接するとき、円①の中心(0, 0)と直線③との距離は、円①の半径1に等しいので、
m2+(−1)2∣m⋅0−0+n∣=1 ∣n∣=m2+1 (式④)
直線③が円②と接するとき、円②の中心(4, 0)と直線③との距離は、円②の半径2に等しいので、
m2+(−1)2∣m⋅4−0+n∣=2 ∣4m+n∣=2m2+1 (式⑤)
式④、式⑤より、
∣4m+n∣=2∣n∣ よって、
4m+n=±2n したがって、4m=n または 4m=−3n となります。 式④より、
∣4m∣=m2+1 16m2=m2+1 m=±151 このとき、n=4m=±154 となります。 よって、接線の方程式は y=151x+154 と y=−151x−154 となります。 [2] 4m=−3n のとき 式④より、
∣n∣=m2+1 n=±m2+1 4m=−3n なので、n=−34m となります。 −34m=±m2+1 916m2=m2+1 97m2=1 m=±73 このとき、n=−34⋅(±73)=∓74 よって、接線の方程式は y=73x−74 と y=−73x+74 となります。