円 $x^2 + y^2 = 1$ (円①) と円 $(x-4)^2 + y^2 = 4$ (円②) に共通な接線の方程式を求める問題です。

幾何学接線方程式距離の公式
2025/6/30

1. 問題の内容

x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 (円①) と円 (x4)2+y2=4(x-4)^2 + y^2 = 4 (円②) に共通な接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

共通接線は xx 軸に垂直ではないので、接線の方程式を y=mx+ny = mx + n、すなわち mxy+n=0mx - y + n = 0 (直線③) とおきます。
直線③が円①と接するとき、円①の中心(0, 0)と直線③との距離は、円①の半径1に等しいので、
m00+nm2+(1)2=1\frac{|m \cdot 0 - 0 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1
n=m2+1|n| = \sqrt{m^2 + 1}
(式④)
直線③が円②と接するとき、円②の中心(4, 0)と直線③との距離は、円②の半径2に等しいので、
m40+nm2+(1)2=2\frac{|m \cdot 4 - 0 + n|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2
4m+n=2m2+1|4m + n| = 2\sqrt{m^2 + 1}
(式⑤)
式④、式⑤より、
4m+n=2n|4m + n| = 2|n|
よって、
4m+n=±2n4m + n = \pm 2n
したがって、4m=n4m = n または 4m=3n4m = -3n となります。
[1] 4m=n4m = n のとき
式④より、
4m=m2+1|4m| = \sqrt{m^2 + 1}
16m2=m2+116m^2 = m^2 + 1
15m2=115m^2 = 1
m=±115m = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}
このとき、n=4m=±415n = 4m = \pm \frac{4}{\sqrt{15}} となります。
よって、接線の方程式は y=115x+415y = \frac{1}{\sqrt{15}}x + \frac{4}{\sqrt{15}}y=115x415y = -\frac{1}{\sqrt{15}}x - \frac{4}{\sqrt{15}} となります。
[2] 4m=3n4m = -3n のとき
式④より、
n=m2+1|n| = \sqrt{m^2 + 1}
n=±m2+1n = \pm \sqrt{m^2 + 1}
4m=3n4m = -3n なので、n=43mn = -\frac{4}{3}m となります。
43m=±m2+1-\frac{4}{3}m = \pm \sqrt{m^2 + 1}
169m2=m2+1\frac{16}{9}m^2 = m^2 + 1
79m2=1\frac{7}{9}m^2 = 1
m=±37m = \pm \frac{3}{\sqrt{7}}
このとき、n=43(±37)=47n = -\frac{4}{3} \cdot (\pm \frac{3}{\sqrt{7}}) = \mp \frac{4}{\sqrt{7}}
よって、接線の方程式は y=37x47y = \frac{3}{\sqrt{7}}x - \frac{4}{\sqrt{7}}y=37x+47y = -\frac{3}{\sqrt{7}}x + \frac{4}{\sqrt{7}} となります。

3. 最終的な答え

y=115x+415y = \frac{1}{\sqrt{15}}x + \frac{4}{\sqrt{15}}y=115x415y = -\frac{1}{\sqrt{15}}x - \frac{4}{\sqrt{15}}y=37x47y = \frac{3}{\sqrt{7}}x - \frac{4}{\sqrt{7}}y=37x+47y = -\frac{3}{\sqrt{7}}x + \frac{4}{\sqrt{7}}

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