問題は全部で5問あり、それぞれ以下の内容です。 (1) 2点間の距離を求める。 (2) 線分を内分する点と中点の座標を求める。 (3) 線分を外分する点の座標を求める。 (4) 2点間の距離を求める。 (5) 直線の傾きと切片を求める。

1. 問題の内容

問題は全部で5問あり、それぞれ以下の内容です。

(1) 2点間の距離を求める。

(2) 線分を内分する点と中点の座標を求める。

(3) 線分を外分する点の座標を求める。

(4) 2点間の距離を求める。

(5) 直線の傾きと切片を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2点A($x_1$), B($x_2$)間の距離は $|x_2 - x_1|$ で求められる。

① A(2), B(5) の距離は $|5 - 2| = 3$

② C(3), D(-2) の距離は $|-2 - 3| = |-5| = 5$

(2) 2点A($x_1$), B($x_2$)を結ぶ線分ABを $m:n$ に内分する点の座標は $\frac{n x_1 + m x_2}{m+n}$ で求められる。

また、線分ABの中点の座標は $\frac{x_1+x_2}{2}$ で求められる。

① A(-1), B(5) を 2:1 に内分する点Pの座標は $\frac{1 \times (-1) + 2 \times 5}{2+1} = \frac{-1 + 10}{3} = \frac{9}{3} = 3$

② A(-1), B(5) の中点Mの座標は $\frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

(3) 2点A($x_1$), B($x_2$)を結ぶ線分ABを $m:n$ に外分する点の座標は $\frac{-n x_1 + m x_2}{m-n}$ で求められる。

① A(1), B(5) を 2:1 に外分する点Pの座標は $\frac{-1 \times 1 + 2 \times 5}{2-1} = \frac{-1 + 10}{1} = 9$

② A(1), B(5) を 1:2 に外分する点Qの座標は $\frac{-2 \times 1 + 1 \times 5}{1-2} = \frac{-2 + 5}{-1} = \frac{3}{-1} = -3$

(4) 2点A($x_1, y_1$), B($x_2, y_2$)間の距離は $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ で求められる。

① A(2, 3), B(5, -1) の距離は $\sqrt{(5 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

② O(0, 0), C(1, -4) の距離は $\sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

(5) 直線の方程式を $y = ax + b$ の形に変形すると、$a$ が傾き、$b$ が切片となる。

① $3x - 2y + 4 = 0$ を変形すると、 $2y = 3x + 4$ より $y = \frac{3}{2}x + 2$。よって、傾きは $\frac{3}{2}$、切片は 2。

② $2x + 3y - 9 = 0$ を変形すると、 $3y = -2x + 9$ より $y = -\frac{2}{3}x + 3$。よって、傾きは $-\frac{2}{3}$、切片は 3。

3. 最終的な答え

(1)

① 3

② 5

(2)

① 3

② 2

(3)

① 9

② -3

(4)

① 5

② $\sqrt{17}$

(5)

① 傾き: $\frac{3}{2}$, 切片: 2

② 傾き: $-\frac{2}{3}$, 切片: 3