次の4つの問題を解きます。 (1) 2点 $A(-2, -1)$ と $B(2, 7)$ を結ぶ線分 $AB$ を $3:1$ に内分する点 $P$ の座標を求めます。 (2) 2点 $A(-1, 3)$ と $B(4, 5)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に外分する点 $P$ の座標を求めます。 (3) 3点 $A(2, 7)$, $B(-4, -2)$, $C(5, 4)$ を頂点とする三角形 $ABC$ の重心 $G$ の座標を求めます。 (4) 次の3つの直線の方程式を求めます。 (1) 2点 $A(2, 3)$, $B(4, -1)$ を通る直線 (2) 点 $(3, 1)$ を通り、直線 $y = -2x + 5$ に平行な直線 (3) 点 $(3, 1)$ を通り、直線 $y = -2x + 5$ に垂直な直線

1. 問題の内容

次の4つの問題を解きます。

(1) 2点 $A(-2, -1)$ と $B(2, 7)$ を結ぶ線分 $AB$ を $3:1$ に内分する点 $P$ の座標を求めます。

(2) 2点 $A(-1, 3)$ と $B(4, 5)$ を結ぶ線分 $AB$ を $2:1$ に外分する点 $P$ の座標を求めます。

(3) 3点 $A(2, 7)$, $B(-4, -2)$, $C(5, 4)$ を頂点とする三角形 $ABC$ の重心 $G$ の座標を求めます。

(4) 次の3つの直線の方程式を求めます。

(1) 2点 $A(2, 3)$, $B(4, -1)$ を通る直線

(2) 点 $(3, 1)$ を通り、直線 $y = -2x + 5$ に平行な直線

(3) 点 $(3, 1)$ を通り、直線 $y = -2x + 5$ に垂直な直線

2. 解き方の手順

(1) 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点の座標は、 $P(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$ で求められます。

この問題では、$A(-2, -1)$、$B(2, 7)$、$m = 3$、$n = 1$ なので、

$P(\frac{1(-2) + 3(2)}{3+1}, \frac{1(-1) + 3(7)}{3+1})$

$P(\frac{-2 + 6}{4}, \frac{-1 + 21}{4})$

$P(\frac{4}{4}, \frac{20}{4})$

$P(1, 5)$

(2) 線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点の座標は、 $P(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$ で求められます。

この問題では、$A(-1, 3)$、$B(4, 5)$、$m = 2$、$n = 1$ なので、

$P(\frac{-1(-1) + 2(4)}{2-1}, \frac{-1(3) + 2(5)}{2-1})$

$P(\frac{1 + 8}{1}, \frac{-3 + 10}{1})$

$P(9, 7)$

(3) 三角形 $ABC$ の重心の座標は、$G(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ で求められます。

この問題では、$A(2, 7)$, $B(-4, -2)$, $C(5, 4)$ なので、

$G(\frac{2 - 4 + 5}{3}, \frac{7 - 2 + 4}{3})$

$G(\frac{3}{3}, \frac{9}{3})$

$G(1, 3)$

(4)

(1) 2点 $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ を通る直線の方程式は、$y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ で求められます。

この問題では、$A(2, 3)$, $B(4, -1)$ なので、

$y - 3 = \frac{-1 - 3}{4 - 2}(x - 2)$

$y - 3 = \frac{-4}{2}(x - 2)$

$y - 3 = -2(x - 2)$

$y - 3 = -2x + 4$

$y = -2x + 7$

(2) 直線 $y = -2x + 5$ に平行な直線は、傾きが等しいので、$y = -2x + b$ と表せます。

点 $(3, 1)$ を通るので、$1 = -2(3) + b$

$1 = -6 + b$

$b = 7$

よって、$y = -2x + 7$

(3) 直線 $y = -2x + 5$ に垂直な直線は、傾きの積が $-1$ になるので、傾きは $\frac{1}{2}$ です。よって、$y = \frac{1}{2}x + b$ と表せます。

点 $(3, 1)$ を通るので、$1 = \frac{1}{2}(3) + b$

$1 = \frac{3}{2} + b$

$b = 1 - \frac{3}{2}$

$b = -\frac{1}{2}$

よって、$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

両辺を2倍して、$2y = x - 1$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $P(1, 5)$

(2) $P(9, 7)$

(3) $G(1, 3)$

(4) (1) $y = -2x + 7$

(2) $y = -2x + 7$

(3) $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$