(1) 数直線上に2点A(a), B(b)があり、a < b とする。線分ABをm:n (m > n) に外分する点Pのx座標を求める。ただし、図の説明の続きから公式を導出する。 (2) 数直線上に2点A(a), B(b)があるとき、線分BAをm:nに外分する点Pのx座標をa, b, m, nを用いて表す。

1. 問題の内容

(1) 数直線上に2点A(a), B(b)があり、a < b とする。線分ABをm:n (m > n) に外分する点Pのx座標を求める。ただし、図の説明の続きから公式を導出する。

(2) 数直線上に2点A(a), B(b)があるとき、線分BAをm:nに外分する点Pのx座標をa, b, m, nを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1)

図の説明より、$AP = x - a$, $PB = x - b$。

$AP:PB = m:n$ だから、

$\frac{AP}{PB} = \frac{m}{n}$

$\frac{x-a}{x-b} = \frac{m}{n}$

$n(x-a) = m(x-b)$

$nx - na = mx - mb$

$mx - nx = mb - na$

$(m-n)x = mb - na$

$x = \frac{mb - na}{m-n}$

(2)

線分BAをm:nに外分するので、

点Pは点Aよりも左側にある場合と、点Bよりも右側にある場合が考えられる。

点Pのx座標をxとすると、

$BP:PA = m:n$

したがって、$\frac{PA}{BP} = \frac{n}{m}$ となることに注意する。

$PA = a - x$, $BP = b - x$

$\frac{PA}{BP} = \frac{a-x}{b-x} = \frac{n}{m}$

$m(a-x) = n(b-x)$

$ma - mx = nb - nx$

$nx - mx = nb - ma$

$(n-m)x = nb - ma$

$x = \frac{nb - ma}{n-m}$

$x = \frac{-nb + ma}{m-n}$

$x = \frac{ma - nb}{m-n}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{mb - na}{m-n}$

(2) $\frac{ma - nb}{m-n}$