点Qが直線 $y = x + 3$ 上を動くとき、点A(4, 1)とQを結ぶ線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

点Qが直線 $y = x + 3$ 上を動くとき、点A(4, 1)とQを結ぶ線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

点Qの座標を$(s, t)$とし、点Pの座標を$(x, y)$とする。

点Qは直線 $y = x + 3$ 上にあるので、

$t = s + 3$ が成り立つ。

点Pは線分AQを1:2に内分するので、内分点の公式より

$x = \frac{2 \cdot 4 + 1 \cdot s}{1+2} = \frac{8+s}{3}$

$y = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot t}{1+2} = \frac{2+t}{3}$

となる。

上の式から、$s$と$t$について解くと、

$s = 3x - 8$

$t = 3y - 2$

となる。

これを、$t = s + 3$ に代入すると、

$3y - 2 = 3x - 8 + 3$

$3y - 2 = 3x - 5$

$3y = 3x - 3$

$y = x - 1$

点Qが直線 $y = x + 3$ 上を動くとき、$s, t$ は任意の実数をとれるので、$x, y$ も任意の実数を取れる。

よって、点Pは直線 $y = x - 1$ 上のすべての点をとる。

3. 最終的な答え

$y = x - 1$