3点 $A(1, 1, 2)$, $B(2, 3, 1)$, $C(3, -1, 4)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

3点 $A(1, 1, 2)$, $B(2, 3, 1)$, $C(3, -1, 4)$ を頂点とする三角形の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を計算します。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (2-1, 3-1, 1-2) = (1, 2, -1)$

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = (3-1, -1-1, 4-2) = (2, -2, 2)$

次に、ベクトル $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ の外積を計算します。

$\vec{AB} \times \vec{AC} = (2\cdot2 - (-1)\cdot(-2), (-1)\cdot2 - 1\cdot2, 1\cdot(-2) - 2\cdot2) = (4-2, -2-2, -2-4) = (2, -4, -6)$

三角形の面積 $S$ は、外積の大きさの半分で与えられます。

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

外積の大きさ $|\vec{AB} \times \vec{AC}|$ を計算します。

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$

したがって、三角形の面積 $S$ は

$S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{14} = \sqrt{14}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{14}$