与えられた正四角柱について、以下の2つの問題を解く。 (1) $\triangle EGH$の面積を、$x$を用いて表す。ただし、$x$は正四角柱の底面の正方形の一辺の長さである。 (2) 三角錐 $DEGH$の体積が $\frac{2}{3}x^3 cm^3$であるとき、この正四角柱の高さを、$x$を用いて表す。

1. 問題の内容

与えられた正四角柱について、以下の2つの問題を解く。

(1) $\triangle EGH$の面積を、$x$を用いて表す。ただし、$x$は正四角柱の底面の正方形の一辺の長さである。

(2) 三角錐 $DEGH$の体積が $\frac{2}{3}x^3 cm^3$であるとき、この正四角柱の高さを、$x$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle EGH$の面積を求める。

$\triangle EGH$は直角三角形であり、$EG = x$、$GH = x$である。

したがって、$\triangle EGH$の面積は、

$\frac{1}{2} \times EG \times GH = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2$

(2) 正四角柱の高さを求める。

三角錐$DEGH$の体積は $\frac{2}{3}x^3$ である。

三角錐$DEGH$の体積は、$\frac{1}{3} \times (\triangle EGHの面積) \times (正四角柱の高さ)$ で求められる。

正四角柱の高さを $h$ とすると、

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}x^2 \times h = \frac{2}{3}x^3$

$\frac{1}{6}x^2 h = \frac{2}{3}x^3$

$h = \frac{2}{3}x^3 \times 6 \times \frac{1}{x^2} = 4x$

3. 最終的な答え

(1) $\triangle EGH$の面積: $\frac{1}{2}x^2 cm^2$

(2) 正四角柱の高さ: $4x cm$